1、第5讲 椭 圆 考纲要求考点分布考情风向标1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合的思想.3.了解椭圆的简单应用2011年新课标卷考查椭圆的概念及离心率的计算；2012年新课标卷以求椭圆的离心率为背景，考查椭圆的几何性质；2013年新课标卷考查椭圆方程的求法(定义法，直线、圆、椭圆的综合应用)；2013年新课标卷以椭圆的中点弦为背景，考查椭圆方程的求法(点差法)；2015年新课标卷以求线段长度为背景，考查椭圆、抛物线的几何性质椭圆作为解析几何知识的一个重点，每年都是高考重点考查的内容.主要考查椭圆的基础知识椭圆的定义、几何性质、标准方
2、程以及直线与椭圆的结合问题，考查常见的数学思想方法函数与方程、数形结合、转化与化归等.考查解析几何的本质问题用代数的方法解决几何问题1.椭圆的概念ac(1)若_，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 ab0)y2a2x2b21(ab0)(续表)标准方程性质轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率a，b，c的关系c2a2b2x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)eca(0,1)DCA.9B.4C.3D.2解析：由题意，得m225429，因为m0，所以m3.故选 C.1.椭圆x216y281 的离心率为()A.13B.
3、12 C.33D.222.(2015 年广东)已知椭圆x225y2m21(m0)的左焦点为F1(4,0)，则 m()CA.4C.4 或 8B.8D.12解析：当焦点在 x 轴上时，10mm20,10m(m2)4，m4.当焦点在 y 轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8.3.椭圆x210m y2m21 的焦距为 4，则 m 等于()4.(2011 年新课标)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 L 交C 于 A，B 两点，且ABF2 的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为_.解析：由ca 22，4a16，得
4、a4，c2 2.从而 b28.x216y281 为所求.x216y281考点 1 椭圆的定义及应用答案：C例 1：(1)已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆x23y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是()A.2 3B.6 C.4 3 D.12解析：ABC 的周长是 4a4 3.故选 C.(2)(2014 年辽宁)已知椭圆 C：x29y241，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN的中点在 C 上，则|AN|BN|_.解析：如图 D38，由已知条件得，点 F1，F2 分别是椭圆x29y241
5、的左、右焦点，且 F1，F2，K 分别是线段 MB，MA，MN的中点，则在NBM 和NAM 中，|NB|2|KF1|，|NA|2|KF2|，又由椭圆定义得，|KF1|KF2|2a6，故|AN|BN|2(|KF1|KF2|)12.图 D38答案：12考点 2 椭圆的标准方程例 2：(1)(2015 年新课标)已知椭圆 E 的中心为坐标原点，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|()A.3C.9B.6D.12离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，答案：B解析：抛物线 C：y28x 的焦点为(2,0)，准线方程为x2，椭圆 E 的右焦点为(2,0).椭圆 E 的
6、焦点在 x 轴上，设方程为x2a2y2b21(ab0)，c2，eca12，a4.b2a2c212.椭圆 E 的方程为x216y2121，将 x2 代入椭圆 E的方程得 A(2,3)，B(2，3).|AB|6.故选 B.(2)(2014 年大纲)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点.若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为()A.x23y221 B.x23y21C.x212y281 D.x212y241答案：A解析：由椭圆定义知，AF1B 的周长为 4a4 3，a 3，离心率为 eca 33，c
7、1，b2a2c22.则 C 的方程为x23y221.(3)(2013年大纲)已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，)则 C 的方程为(A.x22y21B.x23y221C.x24y231D.x25y241解析：方法一(待定系数法)：设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，可得 c a2b21.所以 a2b21.AB 经过右焦点 F2，且垂直于 x 轴，且|AB|3，可得 A1，32，B1，32.代入椭圆方程，得12a2322b2 1.联立，得 a24，b23.椭圆 C 的方程为x24y231.答案：C方法二(定义法)：
8、设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0).AB 经过右焦点 F2，且垂直于 x 轴，且|AB|3，A 1，32，2a|AF1|AF2|112322 11232252324，a2，b2413.椭圆 C 的方程为x24y231.【规律方法】(1)求曲线的方程时，应从“定形”“定焦”“定式”“定量”四个方面去思考.“定形”是指首先要清楚 所求曲线是椭圆还是双曲线；“定焦”是指要清楚焦点在x 轴 还是在 y 轴上；“定式”是指设出相应的方程；“定量”是指计算出相应的参数.(2)求椭圆的关键是确定 a，b 的值，常利用椭圆的定义解题.在解题时应注意“六点”(即两个焦点与四个顶点)对椭圆方程的影响.当椭
9、圆的焦点位置不明确，应有两种情况，亦可设方程为 mx2ny21m0，n0，mn，这样可以避免分类讨论.考点 3 椭圆的几何性质例 3：(1)(2015 年福建)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F.短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于A，B 两点.若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34 C.32，1 D.34，1 答案：A解析：设左焦点为 F1，连接 AF1，BF1.则四边形 BF1AF 是平行四边形，故|AF1|BF|，所以|AF|AF1|42a，所以 a2，设 M(0，
10、b)，则4b5 45，故 b1，从而 a2c21，0c23，0b0)的右焦点 F(c,0)关于直线 ybcx 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是_.解析：设 F(c,0)关于直线 ybcx 的对称点为 Q(m，n)，则有nmcbc1，n2bcmc2，解得 mc3cb2a2，n2bc2a2.所以 Qc3cb2a2，2bc2a2 在椭圆上，即有c3cb22a64c4a4 1.令 eca，则 4e6e21.所以离心率 e 22.答案：22【规律方法】讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点.求离心率的常用方法有以下两种：求得 a，c 的值，直接代入用b2a2c2消去b，转化成e的方程(或不等式)
11、求解.公式 eca求得；列出关于 a，b，c 的齐次式(或不等式)，利【互动探究】已知 F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF1 PF2 c2，则此椭圆离心率的取值范围是_.解析：设 P(x，y)，则PF1 PF2(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2.将 y2b2b2a2x2 代入式解得x22c2b2a2c23c2a2a2c2.又 x20，a2，2c2a23c2.eca33，22.答案：33，22思想与方法利用函数与方程的思想求椭圆的方程例题：(2014 年新课标)设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左
12、，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b.解：(1)根据 c a2b2及题设知，Mc，b2a，2b23ac.将 b2a2c2 代入 2b23ac，解得ca12，ca2(舍去).故 C 的离心率为12.(2)由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2y 轴，所以直线MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点，故b2a 4，即 b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设
13、 N(x1，y1)，由题意知，y1b0)上任意一 1.椭圆定义的集合语言：PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|往往是解决计算问题的关键，如果题目的条件能转化为动点到两定点距离和为常数的问题可考虑利用椭圆定义，或涉及椭圆上的点到焦点的距离，也可考虑椭圆定义.涉及椭圆的定义时，要注意常数2a大于焦距2c这一隐含条件.即：当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P的轨迹为椭圆；当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P的轨迹为以F1、F2为端点的线段；当|PF1|PF2|2a0，n0，mn)，这样往往可以避免分类讨论.3.讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点.求离心率的常用方法有以下两种：求得 a，c 的值，直接代入公式 eca求得；列出关于 a，b，c 的齐次式(或不等式)，利用 b2a2c2消去 b，转化成 e 的方程(或不等式)求解.4.直线与椭圆的位置关系主要涉及公共点问题，相交弦问题.实际上就是直线与椭圆方程联立的方程组实数解的个数问题，故直线与椭圆相交0；直线与椭圆相切0；直线与椭圆相离b0)上任意一点，则|x|a.