1、A级基础练1已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则ff(1)()A2B0C2D1解析：选A.因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，所以f(1)f(1)f(12)f(1)，所以f(1)0，fff42，所以ff(1)2.2下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是()Ayln(1x)Byln(2x)Cyln(1x)Dyln(2x)解析：选B.通解：设所求函数的图象上的任一点坐标为(x，y)，则其关于直线x1的对称点坐标为(2x，y)，由对称性知点(2x，y)在函数yln x的图象上，所以yln(2x)故选B.优解：由题意知，对称轴
2、x1上的点(1，0)既在函数yln x的图象上也在所求函数的图象上，将点(1，0)代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D.故选B.3若f(x)是定义在(，)上的偶函数，x1，x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(1)f(2) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(2)f(1)解析：选D.因为x1，x20，)(x1x2)，有0，所以当x0时，函数f(x)为减函数，因为f(x)是定义在(，)上的偶函数，所以f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)f(1)4已知函数f(x)满足f(x1)f(5x)，且对任意的x1，x22，)，x1x2，都有0成立
3、，若pf(7)，qf(8)，mf(2)，则p，q，m的大小关系为()AqmpBpmqCqpmDpqm解析：选C.因为f(x1)f(5x)，所以函数f(x)的图象关于直线x2对称又对任意的x1，x22，)，x1x2，都有f(7)f(12)，即mpq，故选C.5(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x2)为偶函数，则下列结论正确的是()A函数yf(x)的图象关于直线x1对称Bf(4)0Cf(x8)f(x)D若f(5)1，则f(19)1解析：选BCD.根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(x)f(x)，又由函数f(x2)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x2对称，则有f(x
4、)f(4x)，则有f(x4)f(x)，则f(x8)f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A，函数f(x)的图象关于直线x2对称，A错误；对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0，又由函数f(x)的图象关于直线x2对称，则f(4)0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x8)f(x)，C正确；对于D，若f(5)1，则f(19)f(524)f(5)1，D正确6若函数f(x)为奇函数，则a_，f(g(2)_解析：因为f(x)是R上的奇函数 ，所以f(0)0，即a0，若x0，则f(x)f(x)，即f(x)f(x)，则g(2x)(x22x
5、1)，令x1，则g(2)(121)2，f(2)f(2)(441)7，故f(g(2)7.答案：077设函数f(x)1在x9，9上的最大值为M，最小值为m，则Mm_解析：f(x)1，其中上奇下偶明显是奇函数，最大、最小值之和为零，那么f(x)的最大值与最小值之和就是212.答案：28已知函数f(x)则f(2 021)_解析：当x0时，f(x)f(x2)1，则f(2 021)f(2 019)1f(2 017)2f(1)1 010f(1)1 011，而f(1)0，故f(2 021)1 011.答案：1 0119已知函数yf(x)的图象关于原点对称，且当x0时，f(x)x22x3.(1)试求f(x)在R
6、上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间解：(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，则f(0)0.设x0，因为x0时，f(x)x22x3，所以f(x)f(x)(x22x3)x22x3.所以f(x)(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(，1，1，)，单调递减区间是(1，0)，(0，1)10函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论解：(1)因为对于任意x1，x2D，有
7、f(x1x2)f(x1)f(x2)，所以令x1x21，得f(1)2f(1)，所以f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明如下：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，所以f(1)f(1)0.令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数B级综合练11(2020新高考卷)若定义在R的奇函数f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A1，13，)B3，10，1C1，01，)D1，01，3解析：选D.通解：由题意知f(x)在(，0)，(0，)单调递减，且f(2)f(2)f(0)0.当x0时，令f(x1)0，得0x12，所
8、以1x3；当x0时，令f(x1)0，得2x10，所以1x1，又x0，所以1x0；当x0时，显然符合题意综上，原不等式的解集为1，01，3，选D.优解：当x3时，f(31)0，符合题意，排除B；当x4时，f(41)f(3)0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.12(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x1)f(x3)，f(1x)f(3x)，当0x2时，f(x)x2x，则下列说法正确的是()Af(x)的最小正周期为4Bf(x)的图象关于直线x2对称C当0x4时，函数f(x)的最大值为2D当6x8时，函数f(x)的最小值为解析：选ABC.由f(x1)f(x3)得，f(x)f(x1)1
9、f(x1)3f(x4)，故函数f(x)的周期为4，A正确；由f(1x)f(3x)可得f(2x)f(2x)，所以函数f(x)的图象关于直线x2对称，B正确；作出函数f(x)在0，8上的大致图象如图所示，由图可知，当0x4时，函数f(x)的最大值为f(2)2.C正确；当6x8时，函数f(x)的最小值为ff，D错误13已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x，yR，有f(xy1)f(x)f(y)f(1x)f(1y)；f(x)在区间0，1上单调递增(1)求f(0)的值；(2)求证：f(x)是图象关于直线x1对称的奇函数解：(1)令xy0，则f(1)f2(0)f2(1)，再令x0，y可得ff(0
10、)ff(1)f.若f0，则f(1)f2f20，这与f(x)在区间0，1上单调递增矛盾，故f0，故1f(0)f(1)联立解得f(0)0且f(1)1，或f(0)且f(1)(舍去)综上，f(0)0，f(1)1.(2)证明：用y代替1y得f(xy)f(x)f(1y)f(1x)f(y)在中令yx，可得f(0)f(x)f(1x)f(1x)f(x)由式可知f(x1)f(x)f(0)f(1x)f(1)f(1x)，即f(x1)f(1x)，故f(x)的图象关于直线x1对称，将上式代入可得0f(x)f(1x)f(1x)f(x)又f(x1)不恒为0，故f(x)f(x)0恒成立，故f(x)为奇函数14已知函数f(x)(
11、其中a，b，c，d是实数常数，xd)(1)若a0，函数f(x)的图象关于点(1，3)成中心对称，求b，d的值；(2)若函数f(x)满足条件(1)，且对任意x03，10，总有f(x0)3，10，求c的取值范围解：(1)因为a0，所以f(x)b.我们知道函数y(x0)的图象关于点(0，0)对称，而f(x)b相当于将f(x)向左平移d个单位，再向上平移b个单位得到，因此f(x)的对称中心是(d，b)又因为函数f(x)的图象的对称中心是(1，3)，所以(2)由(1)知，f(x)3.依据题意，对任意x03，10，恒有f(x0)3，10当c3时，f(x)3，符合题意当c3且c3时，对任意x3，10，恒有f
12、(x)33，函数f(x)3在3，10上是单调递减函数，且满足f(x)3.因此，当且仅当f(3)10，即3x1f(x2)x2f(x1)，则称函数yf(x)为“H函数”下列函数为“H函数”的是()Af(x)sin xBf(x)exCf(x)x33xDf(x)x|x|解析：选D.根据题意，对于任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)恒成立，则有(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数对于A，f(x)sin x为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f(x)ex为
13、指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f(x)x33x为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f(x)x|x|为奇函数且在R上为增函数，符合题意故选D.16已知定义在R上的函数yf(x)满足条件ff(x)，且函数yf为奇函数给出以下四个命题：函数f(x)是周期函数；函数f(x)的图象关于点对称；函数f(x)为R上的偶函数；函数f(x)为R上的单调函数其中真命题的序号为_解析：由ff(x)，得f(x3)f，即f(x3)f(x)，所以函数f(x)是周期为3的周期函数，正确由函数yf为奇函数，得ff，所以函数yf的图象关于点对称，正确由ff(x)，得ff.又ff，所以ff，即f(x)f(x)，故正确由知f(x)为周期函数，所以f(x)不可能单调，故错误因此真命题的序号为.答案：