1、第六节双曲线课标要求考情分析1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)2了解双曲线的简单应用3理解数形结合的思想.1.双曲线的定义、标准方程、几何性质是近几年高考命题方向方向的热点2常与圆、椭圆、抛物线等知识交汇命题方向方向3题型以选择题、填空题为主，属中低档题. 知识点一双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0
2、：(1)若ac，则集合P为空集知识点二双曲线的标准方程和几何性质1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2离心率e.3等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内到两点F1(1,0)，F2(1,0)的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)与双曲线1(mn0)共渐近线的双曲线方程可设为(0)()(4)等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)()解析：(1)已知点的轨
3、迹是双曲线的一支到两点F1(1,0)，F2(1,0)的距离之差的绝对值为1的点的轨迹是双曲线(2)例如当m1，n1时，方程为y2x21，表示焦点在y轴上的双曲线(3)易知双曲线1与(0)渐近线相同，且(0)可表示渐近线为yx的任意双曲线(4)因为是等轴双曲线，所以ab，ca，离心率等于.渐近线方程为yx，互相垂直(5)由已知，e，e，所以1.2小题热身(1)双曲线1的焦距为(C)A5 B.C2 D1(2)设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于(B)A1 B17C1或17 D以上答案均不对(3)双曲线方程：1，那么k的范围是(D)Ak5 B2
4、k5C2k2 D2k5(4)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为yx.(5)若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线被圆x2y26x50所截得的弦的长为2，则该双曲线的离心率等于.解析：(1)c2325，c，所以焦距2c2.(2)由题意知|PF1|9ac10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|PF1|2a8，故|PF2|PF1|817.(3)由题意知，(|k|2)(5k)0，解得2k5.(4)解法1：由题意知，e，所以ca，所以ba，所以，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.解法2：由e，得，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.(5)不妨取双曲线1的一条渐近线方程为bxay0，圆x2
5、y26x50的圆心为(3,0)，半径为2，圆心(3,0)到渐近线bxay0的距离d，又d，化简得a22b2，该双曲线的离心率e.考点一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A2 B4C6 D8(2)已知圆C：(x3)2y24，定点A(3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为_【解析】(1)由双曲线的方程得a1，c，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2.在PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60，即(2)2|PF1|2|PF2|
6、2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|.解得|PF1|PF2|4.故选B.(2)设动圆M的半径为R，则|MC|2R，|MA|R，|MC|MA|2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a1，c3，b28，则动圆圆心M的轨迹方程为x21(x1)【答案】(1)B(2)x21(x1)方法技巧双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系1.4表示的曲线方程
7、为(C)A.1(x2)B.1(x2)C.1(y2)D.1(y2)解析：的几何意义为点M(x，y)到点F1(0,3)的距离，的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，3)的距离，则4表示点M(x，y)到点F1(0,3)的距离与到点F2(0，3)的距离的差为4，且41C|x|2 D|x|解析：如图，由题意得，|MB|MA|QB|2|OP|2，所以点M的轨迹是以A，B为左、右焦点的双曲线，且a1，所以|x|的取值范围是|x|1，故选A.考点二双曲线的标准方程【例2】(1)已知双曲线C：1(a0，b0)的上焦点为F，M是双曲线的虚轴的一个端点，过F，M的直线交双曲线的下支于A点若M为AF的中点，且|6，
8、则双曲线C的方程为()A.1 B.1Cy21 D.x21(2)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_【解析】(1)由题知，F(0，c)，根据对称性，设M(b,0)，又M为AF的中点，则A(2b，c)，由题意可得解得所以双曲线C的方程为y21，故选C.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常
9、数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)【答案】(1)C(2)x21(x1)方法技巧求双曲线标准方程的两种方法待定系数法设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值定义法依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论也可以设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|PF2|4b，且双曲线的焦距
10、为2，则该双曲线的标准方程为(A)A.y21 B.1Cx21 D.1解析：由题意可得解得则该双曲线的标准方程为y21.2设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为1.解析：由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1|PF2|8.由双曲线的定义知，a4，b3.故曲线C2的标准方程为1.即1.考点三双曲线的几何性质命题方向1与渐近线有关的问题【例3】(1)已知双曲线1(b0)的渐近线方程为xy0，则b()A2B. C.D12(2)设F1，F2是双曲线C：1(
11、a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|PF2|4a，且F1PF260，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0 B2xy0C.x2y0 D2xy0【解析】(1)依题意，得，所以b2，故选A.(2)F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，由双曲线定义可得|PF1|PF2|2a，又知|PF1|PF2|4a，|PF1|3a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos60，即，3a210a24c2，即4c27a2，又知b2a2c2，双曲线C的渐近线方程为yx，即x2y0，故选C.【答案】(1)A(2)C命题方向2求离心率的值或范围【例4】(2019全国卷
12、)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_【解析】解法1：因为0，所以F1BF2B，如图所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tanBF1O，tanBOF2.因为tanBOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e2.解法2：因为0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所
13、以OBF2OF2B，又，所以A为F1B的中点，所以OAF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以OBF2为等边三角形由F2(c,0)可得B(，)，因为点B在直线yx上，所以c，所以，所以e2.【答案】2方法技巧1.求双曲线的渐近线,一般是根据渐近线定义求解，求出a，b的值或a与b的比值，进而求得双曲线的渐近线.2.求双曲线离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围.1(方向1)若双曲线C1：1与C2：1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线
14、C2的焦距为4，则b(B)A2 B4C6 D8解析：C1的渐近线方程为y2x，即2，又因为2c4，c2.由c2a2b2得，所以20b2b2，解得b4.2(方向2)(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为(A)A. B.C2 D.解析：如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为(x)2y2，将x2y2a2记为式，得x，则以OF为直径的圆与圆x2y2a2的相交弦所在直线的方程为x，所以|PQ|2.由|PQ|OF|，得2c，整理得c44a2c24a40，即e44e240，解得e，故选A.3(
15、方向1)已知F1，F2为双曲线1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q且F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为yx.解析：设F2(c,0)(c0)，P(c，y0)，代入双曲线方程得y0，因为PQx轴，所以|PQ|.在RtF1F2P中，PF1F230，所以|F1F2|PF2|，即2c，又因为c2a2b2，所以b22a2或2a23b2(舍)，又因为a0，b0，所以，所以所求双曲线的渐近线方程为yx.经久不衰的高考热点离心率问题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求圆锥曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离
16、心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆或双曲线的离心率问题难点的根本方法类型一利用定义求离心率【典例1】在直角坐标系xOy中，设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，P为双曲线C的右支上一点，且OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为()A. B.C1 D2【解题思路】设F为双曲线的左焦点，利用OPF为正三角形求出|PO|PF|c，POF120，利用双曲线的定义得到|PF|2ac，最后在PFO中由余弦定理可得的值【解析】设F为双曲线的左焦点，|FF|2c，依题意可得|P
17、O|PF|c，连接PF，由双曲线的定义可得|PF|PF|2a，故|PF|2ac，在PFO中，POF120，由余弦定理可得cos120，化简可得c22ac2a20，即()2220，解得1或1(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e1，故选C.【答案】C1已知A，B，C是双曲线1(a0，b0)上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC，且3|AF|CF|，则该双曲线的离心率为(A)A. B.C. D.解析：如图，设双曲线的左焦点为E，连接AE，CE，BE，由题意知|BF|AE|，|BE|AF|，四边形AEBF为矩形，令|BF|AE|m，|AF|n，由双曲线的定义，得|CE|CF|A
18、E|AF|2a，在直角三角形EAC中，m2(3nn)2(3n2a)2，将2amn代入，化简，可得m3n，又mn2a，所以na，m3a，在直角三角形EAF中，m2n2(2c)2，即9a2a24c2，可得e.故选A.类型二利用平面几何性质求离心率【典例2】已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_【解析】如图，设椭圆的右焦点为F(c,0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A(，)，由点A在椭圆M上得，1，b2c23a2c24a2b2，b2a2c2，(a
19、2c2)c23a2c24a2(a2c2)，4a48a2c2c40，e8e40，e42，e椭1(舍去)或e椭1，椭圆M的离心率为1，双曲线的渐近线过点A(，)，渐近线方程为yx，故双曲线的离心率e双2.【答案】122如图，双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线与C的渐近线交于P点，若等腰PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，则C的离心率为(C)A. B. C. D.解析：依题意，kOP，在等腰PF1F2中，cosPF2F1，所以|OP|2c2c22c2cosPF2F1c2，所以|OP|c，所以cosF2OP，所以tanF2OP，所以，解得e，故选C.类型三利用椭
20、圆或双曲线的性质建立方程(或不等式)求离心率的值(或取值范围)【典例3】已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，点P在椭圆上且满足c2，则该椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.【解析】设P(x，y)，则1(ab0)，y2b2x2，axa，(cx，y)，(cx，y)所以x2c2y2x2b2c2x2b2c2.因为axa，所以b2c2b2.所以b2c2c2b2，所以2c2a23c2，所以.故选B.【答案】B3已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(A)A. B.C. D.解析：设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则M到直线l的距离d，1b2.离心率e，故选A.