1、第3讲 圆的方程 考纲要求考点分布考情风向标1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想2012年新课标卷考查直线、圆与抛物线的综合应用；2013年新课标卷考查直线、圆、椭圆的综合应用；2014年大纲卷考查切线的性质及三角函数的运算；2014年新课标卷考查求圆的方程；2014年新课标卷考查直线与圆的位置关系及数形结合；2015年新课标卷以求线段长度为背景，考查椭圆、抛物线的几何性质本节内容具有承前启后的作用，既与前面的直线相联系，也为后面学习圆锥曲线做准备.高考中对此部分内容的考查主要呈现以下几个特点：一是重基础知识和基本技能，主要考查了直
2、线、圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系；二是重在知识的交汇处命题，把解析几何初步与集合、向量、函数等知识结合命题，注重考查学生综合运用知识解决问题的能力1.圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.2.圆的标准方程(a，b)x2y2r2(1)方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为_，半径为 r 的圆的标准方程.(2)特别地，以原点为圆心，半径为 r(r0)的圆的标准方程为_.3.圆的一般方程方程 x2y2DxEyF0 可变形为xD22yE22D2E24F4.故有：(1)当 D2E24F0 时，方程表示以D2，E2 为圆心，以
3、 D2E24F2为半径的圆；(2)当 D2E24F0 时，方程表示一个点D2，E2；(3)当 D2E24F0 时，方程不表示任何图形.5.两圆的位置关系2设两圆的半径分别为 R，r，圆心距为 d.两圆相外离dRr公切线条数为 4 条；两圆相外切dRr公切线条数为 3 条；两圆相交RrdRr公切线条数为_条；两圆内切dRr公切线条数为 1 条；两圆内含dRr无公切线.4.点 M(x0，y0)与圆 x2y2DxEyF0 的位置关系点 M 在圆内x20y20Dx0Ey0Fb0)的一个焦点为 F1 3，0，且过点 H3，12.(2)如图732，设椭圆E的上、下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，
4、A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M.若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值，并求出该定值.图 7-3-2解：(1)方法一，由题意，得 a2b23，3a2 14b21.解得 a24，b21，椭圆 E 的方程为x24y21.方法二，椭圆的两个焦点分别为 F1(3，0)，F2(3，0)，由椭圆的定义，得 2a|HF1|HF2|72124.a2，b2a2(3)21.椭圆 E 的方程为x24y21.(2)方法一，由(1)知，A1(0,1)，A2(0，1).设 P(x0，y0)，直线 PA1：y1y01x0 x，令 y0，得 xN x0y01；直线 PA2：
5、y1y01x0 x，令 y0，得 xM x0y01.设圆 G 的圆心为12x0y01 x0y01，h，则 r212x0y01 x0y01 x0y012h214x0y01 x0y012h2，OG214x0y01 x0y012h2，OT2OG2r214x0y01 x0y012h214x0y01 x0y012h2 x201y20.而x204y201，x204(1y20).OT241y201y20 4.|OT|2，即线段 OT 的长度为定值 2.直线 PA1：y1y01x0 x，令 y0，得 xN x0y01；直线 PA2：y1y01x0 x，令 y0，得 xM x0y01.|OM|ON|x0y01
6、x0y01 x20y201，而x204y201，x204(1y20).方法二，由(1)知，A1(0,1)，A2(0，1).设P(x0，y0)，由切割线定理，得OT2|OM|ON|4.|OT|2，即线段 OT 的长度为定值 2.|OM|ON|x20y201 41y20y2014.【规律方法】本题涉及椭圆、圆、多条直线及多个点，先设点P(x0，y0)，求出直线PA1、直线PA2的方程，进一步求出点M，N的坐标是基础；再设圆心为G，则OT2OG2r2或直接利用切割线定理OT2OMON求解.1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.3.常用结论：(1)以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.(2)若圆(xa)2(yb)2r2与x轴相切，则|b|r；若圆(xa)2(yb)2r2与y轴相切，则|a|r.(3)若圆x2y2DxEyF0关于x轴对称，则E0;若圆x2y2DxEyF0关于y轴对称，则D0；若圆x2y2DxEyF0关于yx轴对称，则DE.