1、第二节排列与组合课标要求考情分析1.理解排列组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能利用排列组合知识解决简单的实际问题1.以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力2以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查.知识点一排列1排列的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示3排列数公式An(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，且mn)4全排列n个不同元
2、素全部取出的一个排列，叫n个不同元素的一个全排列这时An(n1)(n2)321n！，规定0！1.排列问题关键是看选出的元素具有顺序性知识点二组合1组合的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示3组合数的计算公式C(n，mN*，且mn)；C(m，nN*，且mn)4组合数的性质性质1：CC；性质2：CCC.组合问题关键是看选出的元素不具有顺序性知识点三 有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题大致分四种类型1某元素不在某个位置上问题
3、，可从位置考虑用其他元素占上该位置；可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；可间接计算，即从排列总数中减去不符合条件的排列个数一般原则是谁“特殊”谁优先2某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)，然后与其他元素排列3某些元素互不相邻，可将其他剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)4某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其他元素，这些有顺序要求的元素也就一种排法具体求解时，首先确定分类与分步的主体，然后建立恰当的分类标准与分步顺序，最后根据排列知识与两个计数原理确定方法总数(1)一般地，若某个位置受到的限制少，则以这个位置的元素选择作为分类的
4、依据；若某个元素受到的限制少，则以这个元素的位置选择作为分类的依据(2)解决元素与位置的对应问题时，首先要辩证看待“元素”与“位置”排列、组合的问题中元素与位置没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(3)若组合式CC，则xm成立()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了()2小题热身(1)从3,5,7,
5、11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lgalgb的不同值的个数是(C)A6 B8C12 D16(2)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有(B)A4种 B8种C12种 D24种(3)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(C)A8 B24C48 D120(4)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了1_560条毕业留言(用数字作答)(5)将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个小盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有91种(用数字作
6、答)解析：(1)由于lgalgblg，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A12种，所以得到不同的值有12个(2)将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C28种站法，故选B.(3)因为末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA48(种)排法，所以偶数的个数为48.(4)由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A40391 560(条)毕业留言(5)分类即可，共有CCC21353591(种)放法考点一排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方
7、法总数(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻【解】(1)从7人中选5人排列，有A765432 520(种)(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA5 040(种)d(3)解法1：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5A3 600(种)解法2：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA3 600(种)(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全
8、排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有AA576(种)(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有AA1 440(种)方法技巧求解排列应用问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列1六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(B)A192种B216种C240种D288种解析：第一类：甲在最左端，有A54321120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4A4432196(种)方法所
9、以共有12096216(种)方法2把5件不同产品摆成一排若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种解析：记其余两种产品为D，E.A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有AA种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC26336种不同的摆法考点二组合问题【例2】(1)为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F，共6门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有_种不同的选法(2)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来
10、自3家不同企业的可能情况的种数为_【解析】(1)解法1：根据题意，可分三类完成：选A课程不选B课程，有C种不同的选法；选B课程不选A课程，有C种不同的选法；同时选A和B课程，有C种不同的选法根据分类加法计数原理，得CCC66416(种)，故学生甲共有16种不同的选法解法2：从6门课程中选3门的不同选法有C种，而A和B两门课程都不选的选法有C种，则学生甲不同的选法共有CC20416(种)(2)解法1：甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C种情况，发言的3人来自2家企业的情况有CC种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有CCC30(种)解法2：发言的3人来
11、自3家不同企业且含甲企业的人的情况有CC20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有C10(种)所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有201030(种)【答案】(1)16(2)30方法技巧有限制条件的组合问题的解法,组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型.“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型.考虑逆向思维，用间接法处理.1某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和
12、4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为(B)A85B86C91D90解析：法1：(直接法)由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选的方法种数为：CCCCC31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选的方法种数为：CCCCC34；第3类，男生甲入选，女生乙入选的方法种数为：CCCC21.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31342186.法2：(间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有CCC120种；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有CC34种所以男生甲与女生乙至少有1人入选
13、的方法种数为1203486.2现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为472种解析：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法CC264种第二类，不含有红色卡片，不同的取法C3C22012208种由分类加法计数原理知，不同的取法共有264208472种考点三分组、分配问题 命题方向1整体均分问题【例3】数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有()A.A种 B34CCC种C.43种 D43CCC种【解
14、析】方法1：首先将12名同学平均分成四组，有种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有A种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同的分配方案有A3434CCC(种)，故选B.方法2：根据题意可知，第一组分3名同学有C种分法，第二组分3名同学有C种分法，第三组分3名同学有C种分法，第四组分3名同学有C种分法第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同的分配方案有CCCC3434CCC(种)，故选B.【答案】B 命题方向2部分均分问题【例4】为防
15、止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为()A150 B180 C200 D280【解析】由题设可分如下两类：若分成1,1,3的情况，则有CA60(种)分派方法；若分成1,2,2的情况，则有A90(种)分派方法由分类加法计数原理可得共有6090150(种)分派方法故选A.【答案】A命题方向3不等分问题【例5】若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有_种不同的分法【解析】将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；第2步，在余下的5
16、名教师中任取2名作为一组，有C种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法根据分步乘法计数原理，共有CCC60种取法再将这3组教师分配到3所中学，有A6种分法，故共有606360种不同的分法【答案】360方法技巧看个性例3是整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数例4是部分均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几的全排列数例5是不等分问题，解题时需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除
17、以全排列数1(方向1)某公司有五个不同部门，现有四名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为(A)A60 B40C120 D240解析：由题意得，先将四名大学生平均分为两组，共有3(种)不同的分法，再将这两组安排到该公司的两个部门，有A种安排方式，故共有3A60(种)不同的安排方案故选A.2(方向2)甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A，B，C，D四类课外书(每类课外书均有若干本)，已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲借阅了A类课外书，则不同的借阅方案种数为(C)A48 B54C60 D72解析：五位同学借四类书，要保
18、证每类书均有人借阅，则必有两位同学借书的种类相同若A类书有两人借阅，则有A24(种)借阅方案；若A类书只有甲借，则剩下的四人中有两人借阅同类书，即把剩下的四人分成三组，一组两人，另外两组各一人，再将这三组全排列，则有A36(种)借阅方案故共有60种不同的借阅方案3(方向3)为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马亚西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去1人，则不同的选派方案种数为540.解析：依题意，选派方案分为三类：一个国家派4名，另两个国家各派1名，有A90(种)选派方案；一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有CCCA360(种)选派方案；每个国家各派2名，有A90(
19、种)选派方案故不同的选派方案种数为9036090540.排列与组合应用题的常见策略类型一特殊元素(位置)优先法对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后再排列其他一般元素或位置【典例1】(1)5名学生进行知识竞赛笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是()A54 B72C78 D96(2)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三
20、科至少选一科，则可供考生选择的选考方法种数为()A6 B12C18 D24【解析】(1)由题得，甲不是第一，乙不是最后先排乙：乙得第一，共有A24(种)可能；乙没得第一，有3种可能，再排甲也有3种可能，余下的3人有A6(种)可能，共有63354(种)可能所以共有245478(种)可能(2)利用间接法求解从六科中选考三科的选法有C种，其中包括了没选物理、化学、生物三科中任意一科与没选政治、历史、地理三科中任意一科，这两种选法均有C种，因此选考方法有C2C18(种)【答案】(1)C(2)C类型二相邻问题捆绑法在特定条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整个问题排好之后再考虑它们“内部”的排列
21、数，它主要用于解决相邻问题【典例2】三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是()A72 B144C240 D288【解析】第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，有CA6种排法；第二步，再选一对夫妻，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有CAC8种排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有A6种排法，由分步计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有686288(种)，故选D.【答案】D类型三不相邻问题插空法先把不受限制的元素排列好，然后把特定元素插在它们之间或两端
22、的空当中【典例3】在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为_【解析】不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N1AA72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2AA12(种)，所以出场顺序的排法种数为NN1N260.【答案】60类型四定序问题消序法甲、乙、丙顺序一定，采用消序法，即除法，用总排列数除以顺序一定的排列数【典例4】10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为_【解析】方法1：首先
23、从后排7人中抽取2人，有C种方法；再插入前排有种方法，由分步计数原理知共有C420种方法2：首先从后排的7人中抽2人，有C种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A种由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA420种【答案】420类型五元素相同隔板法若把n个不加区分的相同元素分成m组，每组不空，可通过n个相同元素排成一排，在元素之间插入m1块隔板来完成分组，此法适用于同元素分组问题【典例5】把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中，每个盒子不空，则不同的放法种数为_【解析】把8个小球排成一列，在7个空中排入3个板，有C35种方法【答案】35若上述问题中允许有空盒呢？【解析】把8个小球与3个板排成1列，有11个位置，其中3个位置放板，则把小球分成了4部分，有C165种分法【答案】165