1、吉林省松原市实验高级中学2021届高三数学下学期月考（一）（四月第一周）试题 文注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2已知复数满足
2、，是虚数单位，则（ ）ABCD3设，表示两个不同的平面，表示一条直线，且，则是的（ ）A充分而不必要条件B充分必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件4已知，则下列结论正确的是（ ）ABCD5下图是某统计部门网站发布的某市2020年国民经济和社会发展统计公报中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第个月与去年第个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）2020年居民消费价格月度涨跌幅度 下列说法错误的是（ ）年月CPI环比下降，同比上涨年月CPI环比上升，同比无变化年月CPI环比下降，同比上涨年月CPI环比下降，同比上涨ABCD6下列函数中，既是奇函数又
3、在区间上单调递增的是（ ）ABCD7如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为，则称该图形是“和谐图形”已知其中四个三角形上的数字之和为，现从，这五个数中任取两个数标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ） ABCD8设函数满足对，都有，且在上单调递增，则函数的大致图象是（ ）ABCD9在四边形中，为等边三角形，将沿边折起，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ） ABCD10过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，为坐标原点，则（ ）ABCD11设函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是
4、（ ）A函数在上单调递增B函数的图象关于直线对称C当时，函数的最小值为D要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位12若函数存在两个极值点，则的取值范围是（ ）ABCD 第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知的内角，所对的边分别为，且，则_14已知正方形的边长为，点满足，则_15设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为_16在如图棱长为的正方体中，点、在棱、上，且，在棱上，为过、三点的平面，则下列说法正确的是_ 存在无数个点，使面与正方体的截面为五边形；当时，面与正方体的截面面积为；只有一个点，使面与正方体的截
5、面为四边形；当面交棱于点，则、三条直线交于一点 三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，（1）求数列，的通项公式；（2）令，求证： 18（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，面面，且，点在棱上（1）证明：当时，直线平面；（2）当平面时，求的体积 19（12分）某高中社会实践小组设计了一个研究性学习项目，研究学习成绩（以单科为准）与手机使用（电子产品）的相关性，他们从全校随机抽样调查了名学生，其中有四成学生经常使用手机名同学的物理成绩（百分制）的茎叶图如图所示小组约定物理成绩低于分为一般，分以
6、上为良好 （1）根据以上资料完成以下列联表，并判断有多大的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”；物理成绩一般物理成绩良好合计不使用手机经常使用手机合计（2）现将个成绩分为，共组，补全频率分布直方图，并依据频率分布直方图计算这名学生的物理平均成绩的估计值；（3）从这名学生成绩高于分的人中随机选取人，求至少有一人不使用手机的概率附表及公式：， 20（12分）定义椭圆的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为，离心率为（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；（2）过“蒙日圆”上的任意一点作椭圆的一条切线，为切点，延长与“蒙日圆”点交于点，为坐标原点，若直线，的斜率存在，且分别设为，证明：
7、为定值 21（12分）已知函数（1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，讨论函数零点的个数 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线极坐标方程为，且曲线与直线有且只有一个交点（1）求；（2）过点且倾斜角为的直线交直线于点，交曲线异于原点的一点，求的取值范围 23（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数（1）求的最小值；（2）在（1）的件下，证明： 文 科 数 学（一）答 案第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
8、，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】A【解析】由，故选A2【答案】B【解析】，故选B3【答案】C【解析】若，则平面和可能平行，也可能相交；若，则，所以是的必要而不充分条件，故选C4【答案】A【解析】由，则，所以A正确；当，时，所以B不正确；由函数为减函数，又，所以，故C不正确；当，时，所以D不正确，故选A5【答案】D【解析】观看拆线图，年月CPI环比下降，同比上涨，正确，错误；年月CPI环比下降，同比上涨，正确，错误，故选D6【答案】D【解析】对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，函数的定义域为，关于原点对称，利用正弦函数知为奇
9、函数，又，当时，；当时，故不满足在区间上单调递增，不符合题意；对于C，函数的定义域为，关于原点对称，又，故为偶函数，不符合题意；对于D，函数的定义域为R，关于原点对称，又，故为奇函数，又利用指数函数知在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，符合题意，故选D7【答案】B【解析】由条件可知，要使该图形为“和谐图形”，则从，这五个数中任取两个数，这两个数的和是7，任选两个数包含，共有10种情况，其中和为7的有，两种情况，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率，故选B8【答案】A【解析】令，则函数为偶函数，故排除B、D；当时，则，故排除C，故选A9【答案】D【解析】取的中点为，连接，因为，所以三角形
10、外接圆的圆心为，且，因为平面平面，所以平面，因为为等边三角形，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心为，半径为，连接，由，解得，即三棱锥外接球的表面积为，故选D 10【答案】C【解析】如图，作，则设，则，由抛物线定义可知，因为，所以，即，得，所以，故选C 11【答案】D【解析】由题意可得，函数的最小正周期为，所以，由于函数的图象关于点对称，则，可得，所以，对于A选项，当时，所以，函数在上单调递减，A选项错误；对于B选项，所以，函数的图象不关于直线对称，B选项错误；对于C选项，当时，C选项错误；对于D选项，所以，要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位，D选项正确，故选D12【答案】B【解析】由
11、，则，因为函数存在两个极值点，所以，即，设，则，当时，则在上单调递减所以，所以的取值范围是，故选B 第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】【解析】由余弦定理得，化简得，解得，所以，故答案为14【答案】【解析】，故答案为15【答案】【解析】因为，所以是的中点，因为，所以垂直平分，所以，因为双曲线的两条渐近线关于对称，所以，因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故答案为 16【答案】【解析】由题设可得为所在棱的中点当时，如图（1）， 直线 分别交，于，连接并延长于，连接交于，则与正方体的截面为五边形，故正确； 当，如图（2），此时与正方体的截面为正六边形，其边长为，其面积为，故正确
12、；当重合或重合时，如图（3），与正方体的截面均为四边形，故错误； 在平面内，设，则，而平面，故平面，同理平面，故平面平面，即、三条直线交于一点，故答案为 三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】（1）解：由已知，得，即，解得或（舍去），（2）证明：，左边，右边，因此，原式得证18【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接与交于点，连接，又面，面，平面 （2）解：平面，平面，是的中点，面面，点到面的距离为，点到面的距离为，19【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为；（2）直方图见解析，；（3）【解析
13、】（1）物理成绩一般物理成绩良好合计不使用手机经常使用手机合计，有的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”（2） 设名学生物理平均成绩估计值为，（3）高于分经常使用手机的有人，分别设为，不使用手机的有人，分别设为，高于分人中随机抽取人共有，共21种，则至少有一人不使用手机的概率为20【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】（1）由题意知，椭圆的方程，“蒙日圆”的方程为，即（2）当切线的斜率存在且不为零时，设切线的方程为，则由，消去，得，由，消去，得，设，则，当切线的斜率不存在且为零时，成立，为定值21【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】（1）因为在上单调递减，等价于在恒成立，变形得
14、恒成立，而（当且仅当，即时，等号成立），所以（2），令，解得，当变化时，的取值及变化如下表：极小值所以，（）当时，所以在定义域内无零点；（）当时，所以在定义域内有唯一的零点；（）当时，因为，所以在增区间内有唯一零点；，设，则，因为，所以，即在上单调递增，所以，即，所以在减区间内有唯一的零点，所以当时，在定义域内有两个零点，综上所述：当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点22【答案】（1）；（2）【解析】（1）消去参数可得直线的普通方程为，由，可得，故，故曲线的普通方程为因为曲线与直线有且只有一个交点，所以直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离为到直线，所以，解得或（舍去）（2）直线的极坐标方程为，曲线极坐标方程为，则设点的极坐标为，点的极坐标为，23【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1），在递减，在递增，当时，的最小值为（2）证明：，当时，原式；当时，原式，或用如下方法：
