1、通州区2012年高三年级模拟考试（一）数学（理科）试卷2012年4月 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分考试时间长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回第I卷 (选择题 共40分)一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数等于Ai B2i C1+i D1i 2参数方程（为参数）化为普通方程是A B C D开始是输出S否n =1，S = 0n5S = S+2 nn = n+1结束3如图，程序框图所进行的求和运算是A1+2+22+23+24+25B2+22+23+24+25C1+2
2、+22+23+24D2+22+23+244已知在ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是A B C D5已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么该几何体的表面积是A16 B20 CD6有1位老师与2名女生2名男生站成一排合影，两名女生之间只有这位老师，这样的不同排法共有A48种 B24种 C12种 D6种7某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌车，在A地的销售利润（单位：万元）是，在B地的销售利润（单位：万元）是，其中为销售量（单位：辆）若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是A19.45万元 B22.45万元
3、 C25.45万元 D28.45万元8定义集合x|axb的“长度”是ba. 已知m，nR，集合，且集合M，N都是集合x|1x2的子集，那么集合MN的“长度”的最小值是A B C D 第II卷 (共110分)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分9已知等差数列an中，a2=2，公差d=2，那么数列an的前5项和S5= .10某班有50名学生，在一次百米测试中，成绩全部在13秒与18秒之间，将测试成绩分成五组：第一组，第二组，第五组如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于15秒，且小于17秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是_.11已知x，y满足不等式组
4、 那么z=x+2y的最大值是_. 12如图，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，AB=BC=3，则cosD = .13已知函数，且方程f (x)=0有且只有一个实数根，那么实数k 的取值范围是_. 14在直角坐标系中，点O为坐标原点，已知， 是等边三角形，且点在同一条曲线C上，那么曲线C的方程是_；设点的横坐标是n(nN*)的函数f(n)，那么f(n)= _. 三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（本题13分）已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x+1.（I）求f(x)的最小正周期；（II）求f(x)在区间上的最大
5、值和最小值. 16（本题14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ADBC，DAB=90，PA平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1. （I）求证：BC平面PAB；（II）求异面直线PC与AB所成角的余弦值；（III）在侧棱PA上是否存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由. 17（本题13分）有甲、乙、丙三人到某公司面试，甲、乙通过面试的概率分别为，丙通过面试的概率为，且三人能否通过面试相互独立. 记X为通过面试的人数，其分布列为X0123Pabc（I）求的值； （II）求至少有两人通过面试的概率；（III）求数学期
6、望EX. 18（本题13分）已知函数f(x)=lnxa2x2+ax.（I）若a=1，求函数f(x)的最大值；（II）若函数f(x)在区间(1，+)上是减函数，求实数a的取值范围. 19（本题13分）已知椭圆C的焦点在y轴上，离心率为，且短轴的一个端点到下焦点F的距离是.（I）求椭圆C的标准方程；（II）设直线y=2与y轴交于点P，过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，求PAB面积的最大值.20（本题14分）对于数列an，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列an的“差等比数列”，记为数列bn. 设数列bn的首项b1=2，公比为q(q为常数).（I）若q=2，写出一个
7、数列an的前4项；（II）（）判断数列an是否为等差数列，并说明你的理由；（）a1与q满足什么条件，数列an是等比数列，并证明你的结论；（III）若a1=1，1q2，数列an+cn是公差为q的等差数列(nN*)，且c1=q，求使得cn0成立的n的取值范围. (考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效)通州区一模参考答案（理科）2012年4月一、选择题：1A 2B 3D 4D 5C 6C 7A 8C 二、填空题：9 10 11 12 13 14 ；三、解答题：15 解：（） 3分 所以的最小正周期为 6分（） 因为时， 所以， 所以当，即时，所以取得最大值； 当，即时，所以取得最小值 13
8、分16解；（）证明：底面是梯形，平面，平面， ，平面. 3分（）以为原点，分别以，所在直线，轴建立空间直角坐标系. ，. ，. 异面直线与所成角的余弦值是 8分（）假设在侧棱上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值是，设 ，.设平面的法向量为，令，所以，. . 又平面的法向量为，即解得 点的坐标是. 在侧棱上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值是. 14分17 解：设 “甲通过面试”为事件， “乙通过面试”为事件，设 “丙通过面试”为事件， 1分所以， ， . （）由已知得 ，即所以. 4分（）设“至少有两人通过面试”为事件，由题意知所以 10分（）由题意得 所以 13分18解：（I）当时，
9、定义域为， 1分所以， 令，解得， 或. 因为，所以 3分所以当时，；当时，. 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 4分所以当时，函数取得最大值，即的最大值是 5分 （II）因为，定义域为，所以 7分当时，所以在区间上为增函数，不符合题意. 8分 当时，由 ，即，又，所以 所以的单调减区间为（，+），所以 解得 10分 当时，即，又，所以，所以的单调减区间为，所以解得 12分综上所述，实数的取值范围是 13分19解：（）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的方程是. 1分因为短轴的一个端点到下焦点的距离是，离心率为所以， 所以所以椭圆的标准方程是 4分（）由（）知，且直线的斜率存在，设其
10、方程为：，由 得 6分设，所以，. 7分所以面积（，异号）. 所以 9分 12分当且仅当，即时，有最大值是所以当时，面积的最大值是 13分20 解：（）因为数列是等比数列，且，所以 ，所以，. （写出满足条件的一组即可） 2分（）（）因为，所以， ，. 所以. 若，所以，所以数列是等差数列. 3分若，所以所以. 因为， 所以不是常数. 所以数列不是等差数列. 5分（）因为数列是等比数列，首项，公比为，所以，. 所以，. 因为数列是等比数列，所以，即 所以. 所以当时，数列是等比数列. 7分（）因为是公差为的等差数列，所以 又，所以所以，所以 9分所以，猜想：当时，. 用数学归纳法证明：当时，显然成立，假设当时，那么当时， 因为，所以 所以所以当时，成立.由、所述，当时，恒有. 14分