1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征【学习目标】1.理解样本数字特征的定义.2.掌握由图表数据求(估)数字特征的方法.3.体会用样本分布估计总体分布的思想.1.众数、中位数、平均数(1)一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数据的_.众数最中间位置相等(2)把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处在_的一个数据(或中间两个数据的平均数)称为这组数据的中位数.注意：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积_，由此可以估计中位数的值.(3)如果有n个数x1，x2，xn，那么_叫做这 n 个数的平均数.(4)样本中所有个体的平均数叫做样本平均数.x x1x2xnn练习
2、1：若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如图2-2-12 所示的茎叶图，则这组数据的中位数和平均数分别是()A图 2-2-12A.91.5 和 91.5C.91 和 91.5B.91.5 和 92D.92 和 922.标准差、方差(1)统计量标准差的作用是考察样本数据的_程度的大小.分散(2)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s表示，计算公式 s_.(3)标准差的平方 s2 叫做方差，即 s2_.1nx1 x 2x2 x 2xn x 21n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2练习 2：甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：)C选是
3、(A.甲C.丙B.乙D.丁人员甲乙丙丁8.68.98.98.2方差s23.53.52.15.6平均环数 x从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人【问题探究】如何通过频率分布直方图估计众数、中位数和平均数？答案：(1)众数是最高矩形底边的中点；(2)中位数左边和右边的直方图的面积应相等，由此可以估计中位数的值；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，它等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.成绩/米1.50 1.60 1.651.701.751.801.851.90人数/名23234111题型 1 众数、中位数、平均数的求法【例 1】在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高
4、的 17名运动员的成绩如下表：分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.解：在这17 个数据中，1.75 出现了4 次，出现的次数最多，即这组数据的众数是 1.75.表里的17 个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中 第 9 个数据1.70 是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.21.7031.7541.801.851.90)1.69.答：17 名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75米、1.70 米、1.69 米.这组数据的平均数是 x 117(1.5021.6031.65【变式与拓展】1.某食品厂对某天生产的瓶装饮料抽查了 10 瓶，样本净重如下(单位：mL)：3
5、42,348,346,340,344,341,343,350,340,342则样本的平均数是_.343.6解析：由于数据较大，又都在常数 342 附近波动，把各数 据都减去 342，得 0,6,4，2,2，1,1,8，2,0，则 x 110(0642211820)1.6，即 x x 342343.6.2.在广雅中学“十佳学生”评选的演讲比赛中，图 2-2-13是七位评委为某学生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和)C一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为(图 2-2-13A.85,85B.84,86C.84,85D.85,86甲110120130125120125 135 125135x乙
6、115100125130115125 125 145125y题型 2 平均数、方差的应用【例 2】有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取 10 个样本检查它们的抗拉强度(单位：kg/mm2)，数据如下：已知：甲、乙两种钢筋的平均数都等于 125.(1)求 x，y 的值；(2)哪种钢筋的质量较好？思维突破：若平均数相同，则方差越小的，质量越好.解：(1)由已知，得 110120130125120125135125135x12510，x125.又115110125130115125125145125y12510，y145.(2)x 甲 x 乙，又s2甲 110(15)2(5)2520(5)20102010
7、2050，s2乙 110(10)2(25)2052(10)2002020202165.s2甲s2乙，故甲种钢筋质量较好.用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值.在实际应用时，当所得数据平均数不同时，须先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析 稳定情况.【变式与拓展】3.(2013 年山东)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91，现场做的 9 个分数的茎叶图，后来有一个数据模糊，无法辨认，在图 2-2-14 中)以 x 表示.则 7 个剩余分数的方差为(图 2-2-14A.1169B.367 C.36 D.6
8、77 解析：由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩的数据是 87,90,90,91,91,94,90 x.答案：B这组数据的平均数是87909091919490 x791，x4.这组数据的方差是17(16110099)367.【例 3】小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩分别是 96,98,95,93，但最近一次的考试成绩只有 45 分，原因是他带病参加考试.那么，在期末评价时，计算他的平均分是 85.4，故只能评他一个“良好”，这种评价是否合理呢？易错分析：尽管平均分是反映一组数据平均水平的重要特 征，但任何一个数的改变都会引起它的变化，而中位数则不受 某些极端值的影响，本题的中位数为
9、 95，较为合理地反映了小明的数学水平，因而应用中位数衡量小明的数学成绩.解：不合理.小明 5 次的考试成绩，从小到大排列为45,93,95,96,98，中位数是 95，应评定为“优秀”.方法规律小结1.用样本平均数估计总体平均数.(1)平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平.(2)两次从总体中抽取容量相同的样本，分别求出样本的平均数，两个样本的平均数一般是不同的，所以用样本平均数去估计总体平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似值.(3)当一组数据 x1，x2，xn 的各个数值较大时，可将各个数据同时减去一个适当的常数 a，得数据 x1，x2，xn，则 x x a.2.平均数与方差、标准差的实际应用.在实际应用中，若对平均数相同的两组数据评价好坏，常结合方差、标准差进行分析，方差较小的数据体现了该组数据的总体稳定性较好，方差较大的数据，体现该组数据的总体波动较大.