1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-1第二章 圆锥曲线与方程成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 圆锥曲线与方程 第二章 第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2.2 椭圆2.2.2 椭圆的几何性质第1课时 椭圆的几何性质第二章 第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课前自主预习第二章 2
2、.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 奥地利维也纳音乐大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)所以能产生很好的听觉效果其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 1.椭圆的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程_图形焦点坐标_a，b，c 的关系_第二章 2.2
3、2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2.(1)标准方程的几何特征为：_(2)标准方程的代数特征为：_答案：1.x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a2b2c22(1)椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴或 y 轴上，对称轴是坐标轴(2)方程右边为 1，左边是平方和的形式，并且分母为不相等的正值，当椭圆的焦点在 x 轴上时，含 x 项的分母大；当椭圆的焦点在 y 轴上时，含 y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意 ab0 这个条件第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中
4、新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 一、椭圆的几何性质以x2a2y2b21(ab0)为例来研究椭圆的几何性质1范围由椭圆的标准方程知，椭圆上点的坐标(x，y)满足不等式x2a21，y2b21，x2a2，y2b2，|x|a，|y|b.第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 说明椭圆位于直线 xa，yb 所围成的矩形内第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2对称性(1)判断曲线关于原点、x 轴、y 轴对称的依据若把方程中的 x 换成x，y 换成y，方程不变，则曲线关于原点对称
5、；若把方程中的 y 换成y，方程不变，则曲线关于 x 轴对称；若把方程中的 x 换成x，方程不变，则曲线关于 y 轴对称(2)椭圆既关于原点对称，也关于 x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，简称“中心”第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 3顶点确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 x 轴、y轴的交点坐标(1)在椭圆的标准方程中，令 x0，得 yb，则 B1(0，b)，B2(0，b)是椭圆与 y 轴的两个交点同理令 y0 得 xa，即 A1(a,0)，A2(a,0)是椭圆与 x 轴的两交点所以椭圆与坐标
6、轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点(2)线段 A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2a 和 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(3)椭圆的矩轴端点到焦点的距离为 a.如图，在 RtOB2F2中，|OB2|b，|OF2|c，|B2F2|a.4离心率(1)椭圆的焦距与长轴长的比 eca，ac0，0eb0)y2a2x2b21(ab0)范围axa，bybbyb，axa第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1
7、焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长长轴长为 2a，短轴长为 2b焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距2c对称性对称轴：x 轴，y 轴，对称中心：原点离心率eca(0e0)思路分析 题目所给两个方程都不是椭圆的标准方程，所以首先需把方程化成椭圆的标准方程，再求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标和顶点坐标第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析(1)已知椭圆的方程为4x225
8、y2161，可化为x2254y2161.16254，其焦点在 y 轴上，并且长半轴长 a4，短半轴长 b52，半焦距 c a2b216254 392，长轴长 2a8，短轴长 2b5，焦点坐标为(0，392)，(0，392)，顶点坐标为(52，0)，(52，0)，(0，4)，(0,4)第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)椭圆的方程 m2x24m2y21(m0)可化为x21m2 y214m21.m2 14m2，椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a1m，短半轴长 b 12m，半焦距 c a2b2 32m，长轴长 2a2m，短轴长 2
9、b1m，焦点坐标为(32m，0)，(32m，0)，顶点坐标为(1m，0)，(1m，0)，(0，12m)，(0，12m).第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 利用椭圆几何性质求其方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，6)；(2)过(3,0)点，离心率 e 63.思路分析(1)列出 a、b 的关系式，然后设出椭圆标准方程，代入点(2，6)即可；(2)a、c 关系已知，可再进一步找出a、b 关系式，用待定系数法可求第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学
10、选修2-1 解析(1)由题意知 2a4b，a2b.设椭圆标准方程为x2a2y2b21 或y2a2x2b21，代入点(2，6)得：4a236b21 或36a2 4b21，将 a2b 代入得，a2148，b237 或 a252，b213，故所求的椭圆标准方程为 x2148y2371 或y252x2131.第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)当椭圆焦点在 x 轴上时，有 a3，ca 63，c 6，b2a2c2963，方程为x29y231.当椭圆焦点在 y 轴上时，b3，ca 63，a2b2a 63，a227，第二章 2.2 2.2.2
11、第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方法总结 利用几何性质求椭圆的标准方程，关键是“选标准定参数”，同时注意a、b、c、e内在联系，以及对方程两种形式的讨论椭圆的标准方程为x29y2271.故所求椭圆标准方程为x29y2271 或x29y231.第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 已知x2a2y21(a0，a1)表示离心率为12的椭圆，求椭圆的标准方程分析 椭圆的焦点不知在哪个轴上，所以需要分两种情况来讨论，再由 eca12即可求得第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教
12、B版 数学 选修2-1 解析 当焦点在 x 轴上，即 a1 时，由 b1，得 c a21，所以 a21a12，解得 a243，所以椭圆的标准方程为3x24 y21；当焦点在 y 轴上，即 0ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF45，则 C 的离心率 e_.(2)椭圆：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，焦距为 2c，若直线 y 3(xc)与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案(1)57(2)31第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新
13、课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析(1)本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题在ABF 中，由余弦定理得，cosABF|AB|2|BF|2|AF|22|AB|BF|，|BF|216|BF|640，|BF|8，设右焦点为 F1，因为直线过原点，|BF1|AF|6，2a|BF|BF1|14，a7，O 为 RtABF 斜边 AB 的中点，|OF|12|AB|5，c5，e57.第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)本题考查了椭圆离心率的求解如图，由题意易知 F1MF2M 且|MF1|c，|MF2|3c，2a(31)c，ca231
14、 31.第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 椭圆方程及其性质在应用中的技巧与方法在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，右焦点为 F，短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l：xa2c 的距离为 d2.若 d2 6d1，则椭圆 C 的离心率为_第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 思路分析 先设出F，B点的坐标，得出直线BF的方程，求得d1，再由椭圆的性质求出d2，综合d2d1，即可求得a，c的关系式，进而得
15、出所求椭圆的离心率答案 33解析 由题意知 d1bca，d2a2c cb2c，所以有b2c 6bca，两边平方得到 a2b26c4，即 a4a2c26c4，两边同除以 a4 得到 1e26e4，解得 e213，即 e 33.第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方法总结 椭圆性质的考查主要集中在对其离心率的考查上求解椭圆离心率及其范围问题，其关键是确立一个关于a，b，c 的关系式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式建立关于 a，b，c 的关系式要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等第二章 2.2 2.2.2
16、第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 已知椭圆 C：x29y241，点 M 与 C 的焦点不重合若 M关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|BN|_.答案 12第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 本题考查椭圆的定义、对称的特点、中位线定理，如图设 MN 与椭圆的交点为 D，由中位线定理|AN|BN|2(|DF1|DF2|)由椭圆的定义知|DF1|DF2|2a6.|AN|BN|12.由对称性的特点，可以结合中位线与椭圆的定义相联系.第二章 2.2 2.2.2
17、第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 忽视椭圆焦点的位置情况致误若椭圆 x2k4y24 1 的离心率为12，则 k_.错解 只填43或只填1.错因分析 忽视处焦点所在位置的讨论，即漏掉了两种情况中的一种情况的讨论，从而导致答案不全的错误第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 正解 43或1 当焦点在 x 轴上时，a2k4，b24，所以 c2k.因为 e12，所以c2a214，即 kk414，所以 k43.当焦点在 y 轴上时，a24，b2k4，所以 c2k.由 e12，所以c2a214，所以k4 14.所以
18、k1.综上可知，k43或 k1.第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 思路分析 1.性质的转化应用椭圆的性质是高考的重要内容，特别是与离心率有关的问题在利用性质解决问题时要注意题目中的条件转化，如本例离心率为12，可以转化为 k 的方程求解2隐含条件的提防在解决椭圆方程问题时，要提防题干中的隐含条件，如本例方程中，形式上好像是 k44，但当 k0 时，k44，这时要分情况讨论.第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 椭圆的几何性质掌握 范围对称性顶点长轴短轴离心率第二章 2.2 2.2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课 时 作 业（点此链接）
