1、通州区20162017学年度高三摸底考试数学（理）试卷 2017年1月本试卷共4页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）开始结束是否输出AA=0，i=1A=2A+1i = i+1i 6?1已知集合，则等于A BC D2执行如图所示的程序框图，输出的A值为A7B15C31D633若变量，满足条件则的最大值为A B C D4“”是“方程表示双曲线”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件
2、5下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是A B C D6在中，的面积等于，则等于主视图左视图俯视图A B C D7如图，某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，那么它的体积为A B4 C D8设集合，若是的子集，把X的所有元素的乘积叫做的容量（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集. 其中的奇子集的个数为A B C D第二部分 （非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9复数满足，则=_.10展开式中的常数项是_.11已知直线（是参数），曲线的极坐标方程是，那么直线l与曲线C的公共点的个数是_.12设Sn
3、为等差数列an的前n项和，若，则 13如图，在正方形中，为边上的动点，设向量，则的最大值为_.14已知函数若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是_.三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15（本小题满分13分）已知函数（）求最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值16（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动的次数与相对应的人数的对应关系如下表：次数1234人数1441现从这10人中随机选出2人作为该组代表在活动总结会上发言.（）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为6”，求事件发生的概率；（）设为选出的2人参加义工活动
4、次数之和，求随机变量的分布列和数学期望.17（本小题满分14分）在四棱锥中，为正三角形，四边形为矩形，平面平面，分别为中点.（）求证：/平面；（）求二面角的大小；（）在上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由18（本小题满分13分）设函数（）当k1时，求曲线在点处的切线方程；（）设函数，证明：当x时，0.19（本小题满分13分）如图，已知椭圆经过点，离心率. （）求椭圆C的标准方程；xyBAOPFMl（）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，求证：，成等差数列20（本小题满分14分）已知数列对任意的满足：，则称数列为“T数
5、列”.（）求证：数列是“T数列”；（）若，试判断数列是否是“T数列”，并说明理由；（）若数列是各项均为正的“T数列”， 求证：.通州区20162017学年度高三摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案BDAACCDB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分.）9.；10.；11.；12.；13.；14.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15（本小题满分13分）解：（）f(x)=sin2x+2sinxcosx+cos2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2 =.4分f(x)最小正周期T=.6分（）由0x得 02 x2 x
6、+.8分根据y=sinx图象可知当时，f(x)有最大值2+.11分当时，f(x)有最大值1.13分16（本小题满分13分）解： ()从这10人中随机选出2人的基本事件个数为：个，设选出的2人参加义工活动次数之和为事件A，设选出的2人中1人参加2次另一人参加4次为事件M，设选出的2人均参加3次为事件N.事件M所含基本事件的个数为个，事件N所含基本事件的个数为个，根据古典概型可知，因为M和N互斥事件，且A=M+N所以 .6分另：直接计算事件A的基本事件个数，利用古典概型计算也可。 ()随机变量X的可能取值为3,4,5,6,7，所以X的分布列如下：X34567P EX=+=5.13分注：第二问计算出
7、一个概率给1分17（本小题满分14分）（）证明：M，N分别是PB，PC中点MN是ABC的中位线MNBCAD又AD平面PAD，MN平面PAD所以MN平面PAD. .4分()过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，因为平面PAB平面ABCD，所以PO平面ABCD，如图建立空间直角坐标系设AB=2，则A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0，）,B（1,0，0），N（,，），则，设平面CAM法向量为，由可得，令，则，即平面法向量所以，二面角的余弦值因为二面角是锐二面角，所以二面角等于.10分（）存在.11分设，则，由可得，所以在存在点，使得平面，此时.14分18（本小题满分13分）解：()，.1
8、分将x=0分别代入f(x)和f(x)得，f(0)=1， f(0)=0.3分所以曲线在点(0, f(0)处的切线方程为：y=x. .4分().6分令，则.8分，.10分g(x)在上单调递增，g(x)g(0)=0即，.11分F(x)在上单调递增，F(x)F(0)=0.13分19（本小题满分13分）解：（）由点在椭圆上得，由得，故椭圆的标准方程为.4分（）椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，设.5分代入椭圆方程，整理得 .6分设，则有 .7分在方程中，令得，从而，.9分又因为共线，则有，即有所以=将代入得，.12分又，所以，即成等差数列.13分20（本小题满分14分）解：()，.3分 ()解得，故数列不是T数列.7分 ()要证只需证.8分下面运用数学归纳法证明。()当n=1时，成立.9分()假设当n=k时，不等式成立，即那么当n=k+1时，是T数列，将上述式子相加，得所以当n=k+1时不等式成立，根据()和()可知，对于任意不等式均成立.14分