1、第1讲函数及其表示最新考纲考向预测1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用命题趋势以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，中等偏上难度.核心素养数学抽象、数学运算1函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应；那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记作yf(x)，xA2函数的有关概念(1)
2、函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则(3)函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数常用结论1判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应法则完全一致2直线xa(a是常数)与函数yf(x)的图象有0个或1个交点常见误区1函数定义域是研究函数的基本依据，必须坚持定义域优先的原则，明确自变量的
3、取值范围2分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x22x与g(t)t22t是相等函数()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(3)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()(4)分段函数是由两个或几个函数组成的()答案：(1)(2)(3)(4)2已知函数f(x)，则函数f(x)的定义域为()A(，3)B(，2)(2，3C(，2)(2，3)D(3，)解析：选C.要使函数有意义，则即即x3且x2，即函数f(x)的定义域为(，2)(2，3)，故选C.3(易错题
4、)下列图形中可以表示为以Mx|0x1为定义域，以Ny|0y1为值域的函数的是()解析：选C.A项，函数定义域为M，但值域不是N；B项，函数定义域不是M，值域为N；D项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系故选C项4已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列从P到Q的各对应法则f不是函数的是_(填序号)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.解析：对于，因为当x4时，y4Q，所以不是函数答案：5已知函数f(x1)x22x，则f(x)的解析式为_解析：方法一(换元法)：令x1t，则xt1，tR，所以f(t)(t1)22(t1)t24t3，即f(x)x24x3.方法二(配凑法)
5、：因为x22x(x22x1)(4x4)3(x1)24(x1)3，所以f(x1)(x1)24(x1)3，即f(x)x24x3.答案：f(x)x24x3函数的定义域题组练透1函数f(x)ln(2xx2)的定义域为()A(2，)B(1，2)C(0，2)D1，2解析：选B.要使函数有意义，则解得1x0，所以x，所以1，所以a2.4若函数f(x)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是_解析：由题意可得mx2mx10对xR恒成立当m0时，10恒成立；当m0时，则解得0m4.综上可得0m4.答案：0，4求函数定义域的两种方法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解已知函数的具体表达式，求
6、f(x)的定义域转移法若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域已知f(g(x)的定义域，求f(x)的定义域提醒定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连结，而应该用并集符号“”连结函数的解析式 (1)已知f(1)x2，则f(x)的解析式为_(2)若f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2，则f(x)的解析式为_(3)(2020江苏海安高级中学调研)已知函数f(x)满足2f
7、(x)f(x)2x，则f(x)的解析式为_【解析】(1)方法一(换元法)：令1t，则x(t1)2，t1，所以f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)x21(x1)方法二(配凑法)：f(1)x2x211(1)21.因为11，所以函数f(x)的解析式为f(x)x21(x1)(2)(待定系数法)设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)c3，所以f(x)ax2bx3，所以f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.所以所以所以函数f(x)的解析式为f(x)x2x3.(3)(解方程组法)因为2f(x)f(x)2x，将x换成x得2
8、f(x)f(x)2x，由消去f(x)，得3f(x)6x，所以f(x)2x.【答案】(1)f(x)x21(x1)(2)f(x)x2x3(3)f(x)2x求函数解析式的4种方法 1(一题多解)已知二次函数f(2x1)4x26x5，则f(x)_解析：方法一(换元法)：令2x1t(tR)，则x，所以f(t)465t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)方法二(配凑法)：因为f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR)方法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)，则f(2x1)a(2x1)2b(2x1
9、)c4ax2(4a2b)xabc.因为f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9(xR)答案：x25x9(xR)2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实数根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，所以a1，b2，所以f(x)x22xc.又因为方程f(x)0有两个相等的实数根，所以44c0，解得c1，故f(x)x22x1.分段函数角度一求分段函数的函数值 (多选)已知f(x)则下列结论正确的是()Af(f(1)Bf(f(1)Cf(f(0)Df19【解析】f(f(1)f，选项A正确；f(f(1)f(2)0，选项
10、B不正确；f(f(0)f(1)，选项C正确；ff2log21919，选项D正确【答案】ACD分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验 角度二分段函数与方程、不等式问题 (1)(一题多解)设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A2B4C6D8(2)(一题多解)设函数f(x)则满足f(x1)0，则|log2x|，解得x2或x2.故所求x的集合为.答案：3已知函数f(x)若af(a)f(a
11、)0，则实数a的取值范围为_解析：当a0时，不等式af(a)f(a)0可化为a2a3a0，解得a2.当a0可化为a22a0，解得a2.综上所述，a的取值范围为(，2)(2，)答案：(，2)(2，)函数的新定义问题 (2021常州模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(nN*)个整点，则称函数f(x)为“n阶整点函数”给出下列函数：f(x)sin 2x；g(x)x3；h(x)；(x)ln x.其中是一阶整点函数的是()ABCD【解析】对于函数f(x)sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数
12、g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h(x)，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(1，3)，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.【答案】C(1)函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题(2)破解函数的新定义问题的关键：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为yx21，值域为1，3的同族函数有()A1个B2个C3个D4个解析：选C.由x211得x0，由x213得x，所以函数的定义域可以是0, ，0，0，故值域为1，3的同族函数共有3个