1、第4节三角函数的图象与性质考试要求1.能画出三角函数ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2上，正切函数在上的性质.知 识 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0).(2)余弦函数ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRxxk值域1，11，1R最小正周期22
2、奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无常用结论与微点提醒1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，偶函数一般可化为yAcos xb的形式.3.对于ytan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kZ)内为增函数.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)余弦函数ycos x的对称轴是y轴.()(2)正切函数ytan x在
3、定义域内是增函数.()(3)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(4)ysin|x|是偶函数.()解析(1)余弦函数ycos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(2)正切函数ytan x在每一个区间(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k0时，ymaxk1；当k0时，ymaxk1.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册P213T3改编)下列函数中，是奇函数的是()A.y|cos x1| B.y1sin xC.y3sin(2x) D.y1tan x解析选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y3
4、sin(2x)3sin 2x，所以是奇函数，选C.答案C3.(教材必修4P30例2改编)函数ycos3的最小正周期为T，最大值为A，则()A.TA B.TAC.T4A D.T2A解析T4，A3.答案C4.(2017全国卷)函数f(x)sincos的最大值为()A. B.1 C. D.解析cos cossin，则f(x)sinsinsin，函数的最大值为.答案A5.(2019北京卷)函数f(x)sin22x的最小正周期是_.解析由降幂公式得f(x)sin2 2xcos 4x，所以最小正周期T.答案6.(2018江苏卷)已知函数ysin(2x) 的图象关于直线x对称，则的值是_.解析由函数ysin
5、(2x)的图象关于直线x对称，得sin1.所以k(kZ)，所以k(kZ)，又，所以.答案考点一三角函数的定义域【例1】 (1)函数y的定义域为_.(2)函数ylg(sin x)的定义域为_.解析(1)要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为.(2)函数有意义，则即解得所以2k0)图象的一个对称中心为M，距离点M最近的一条对称轴为直线x，则_.解析(1)因为函数f(x)asin xcos x(a为常数，xR)的图象关于直线x对称，所以f(0)f，所以1a，a，所以g(x)sin xcos xsin，函数g(x)的对称轴方程为xk(kZ)，即xk(kZ)，当k0时，对称轴为直线x，所以g(x)si
6、n xacos x的图象关于直线x对称.(2)函数f(x)sin xcos x2sin，因为图象的对称中心为M，距离点M最近的一条对称轴为x，所以，即T.故3.答案(1)C(2)3规律方法1.对于可化为f(x)Asin(x)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令xk(kZ)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)，求x即可.2.对于可化为f(x)Acos(x)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令xk(kZ)，求x；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)，求x即可.【训练3】 (1)(角度1)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且xR，有
7、f(x)f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是()A. B.C. D.(2)(角度2)(2020武汉调研)设函数f(x)sincos的图象关于y轴对称，则()A. B. C. D.解析(1)由f(x)sin(x)的最小正周期为4，得.因为f(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)，又|，所以，故f(x)sin.令xk(kZ)，得x2k(kZ)，故f(x)图象的对称中心为(kZ)，当k0时，f(x)图象的对称中心坐标为.(2)f(x)sincos2sin，由题意可得f(0)2sin2，即sin1，k(kZ)，k(kZ).|，k1时，.答案(1)A(2)A考点四三角函数的单调性多维
8、探究角度1求三角函数的单调区间【例41】 (1)(2020岳阳质检)函数ysin，x2，2的单调递增区间是()A. B.C. D.(2)函数f(x)tan的单调递增区间是_.解析(1)由2k2k(kZ)得，4kx4k(kZ)，又x2，2，所以x.故ysin，x2，2的单调递增区间为.故选A.(2)由k2xk(kZ)，得x0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是_.解析由x0得x0，kZ，得k0，所以.答案规律方法对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若
9、是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练4】 (1)(角度1)已知函数f(x)2sin，则函数f(x)的单调递减区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)(角度2)(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a，a是减函数，则a的最大值是()A. B. C. D.解析(1)函数的解析式可化为f(x)2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，即函数f(x)的单调递减区间为(kZ).(2)f(x)cos xsin xcos，由题意得a0，故a，因为f(x)cos在a，a是减函数，所以解得00，当k0时，min，故选D.答案D4.若f(x)为偶函数，且在上
10、满足：对任意x10，则f(x)可以为()A.f(x)cos B.f(x)|sin(x)|C.f(x)tan x D.f(x)12cos22x解析f(x)cossin x为奇函数，排除A；f(x)tan x为奇函数，排除C；f(x)12cos22xcos 4x为偶函数，且单调增区间为(kZ)，排除D；f(x)|sin(x)|sin x|为偶函数，且在上单调递增.答案B5.(2019盐城模拟)将函数f(x)cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质()A.周期为，最大值为1，图象关于直线x对称，为奇函数B.周期为，最大值为1，图象关于点对称，为奇函数C.周期为，最
11、大值为1，在上单调递减，为奇函数D.周期为，最大值为1，在上单调递增，为奇函数解析将函数f(x)cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)cossin 2x的图象，则函数g(x)的周期为，最大值为1，在上单调递增，且为奇函数，故选D.答案D二、填空题6.函数ycos的单调递减区间为_.解析由ycoscos，得2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函数的单调递减区间为(kZ).答案(kZ)7.(2018北京卷)设函数f(x)cos(0).若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最小值为_.解析由于对任意的实数都有f(x)f成立，故当x时，函数f(x)有最大值，故f1，2k(kZ)，
12、8k(kZ).又0，min.答案8.(2020合肥调研)已知函数f(x)，则下列说法正确的是_(填序号).f(x)的周期是；f(x)的值域是y|yR，且y0；直线x是函数f(x)图象的一条对称轴；f(x)的单调递减区间是，kZ.解析函数f(x)的周期为2，错；f(x)的值域为0，)，错；当x时，x，kZ，x不是f(x)的对称轴，错；令kxk，kZ，可得2k0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)的图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性.解(1)f(x)sin xcos xsin，且T，2，f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ)
13、.(2)令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为(kZ).注意到x，所以令k0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递减区间为k，k(kZ)，令k0，得f(x)在上的单调递减区间为.B级能力提升11.(2020山东百日冲刺)已知函数f(x)则下列结论正确的是()A.f(x)是周期函数B.f(x)是奇函数C.f(x)的图象关于直线x对称D.f(x)在处取得最大值解析作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可知函数f(x)不是周期函数，所以A不正确；同时图象不关于原点对称，所以不是奇函数，所以B不正确；若x0，则fcos(cos xsin
14、x)，fsin(cos xsin x)，此时ff；若x0，则fsin(cos xsin x)，fcos(cos xsin x)，此时ff，综上，恒有ff，即图象关于直线x对称，所以C正确；当x时，fcos 0不是函数的最大值，所以D错误，故选C.答案C12.(2019徐州模拟)已知P(1，2)是函数f(x)Asin(x)(A0，0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点，设BPC，若tan ，则f(x)图象的对称中心可以是()A.(0，0) B.(1，0)C. D.解析由已知作出图形，连接BC，过P作BC的垂线，如图所示.由题意知A2.又BPC，所以tan ，解得BC6，所以T6，又0
15、，解得.所以f(x)2sin.将点P(1，2)的坐标代入函数解析式，得2sin2，解得2k(kZ).令k0，得，所以f(x)2sin.令xm(mZ)，解得x3m(mZ).令m1，得x，即f(x)图象的对称中心可以是.故选D.答案D13.若函数g(x)sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是_.解析由2k2x2k(kZ)，可得kxk(kZ)，g(x)的单调递增区间为(kZ).又函数g(x)在区间和上均单调递增，解得a.答案14.已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；(2)若方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2，求cos(x1x2)的
16、值.解(1)f(x)cos xsin x(2cos2x1)sin 2xcos 2xsin.当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为xk(kZ)，当x(0，)时，对称轴为x.又方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2.x1x2，则x1x2，cos(x1x2)cossin，又f(x2)sin，故cos(x1x2).C级创新猜想15.(多选题)已知函数f(x)sin4xcos4x，则下列说法正确的是()A.f(x)的最小正周期为B.f(x)的最大值为2C.f(x)的图象关于y轴对称D.f(x)在区间上单调递增解析f(x)s
17、in4xcos4xsin2xcos2xcos 2x，函数f(x)的最小正周期T，f(x)的最大值为1.f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称.ycos 2x在上单调递减，f(x)cos 2x在上单调递增.故选ACD.答案ACD16.(开放题)已知函数f(x)sin 2x2cos2x1，将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数yg(x)的图象，若g(x1)g(x2)9，则|x1x2|的值可以是_(答案不唯一，写出一个即可).解析f(x)sin 2x2cos2x1sin 2xcos 2x2sin，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则所得图象对应的解析式为y2sin，再将所得的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)2sin1的图象，则函数g(x)的值域为1，3，又g(x1)g(x2)9，所以g(x1)g(x2)g(x)max3，则|x1x2|nT(nN，T为g(x)的最小正周期)，又T，故|x1x2|(nN)，故可填.答案(答案不唯一)