1、1.2 充分条件与必要条件（1）复习引入1.命题：可以判断真假的陈述句.可写成：若p,则q.pq记做:2.四种命题及相互关系：原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q则p互逆互逆互 否 互 否 互为逆否2引例.（1）若xa2+b2,则 x2ab.222.xabxab（真命题）可写成：我们说：“xa2+b2”是“x2ab”的充分条件；“x2ab”是“xa2+b2”的必要条件.而说：命题（1）的逆否命题：“若x2ab，则xa2+b2.”（也是真命题）这就是说，要使 xa2+b2 成立，就必须有 x2ab成立.因此，“x2ab”是“xa2+b2”成立的必要条件.（2）若两三角形全等，则
2、两三角形的面积相等.（真命题）可写成：两三角形的面积相等两三角形全等我们说：“两三角形全等”是“两三角形的面积相等”的充分条件；而说：“两三角形的面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.一般地,如果已知,即命题“若p则q”为真命题，那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件qp 充分条件与必要条件定义：说明:（1）上述定义中，“pq”即如果具备了条件p，就足以保证q成立，所以称p是q的充分条件.（2）注意条件和结论是相对而言的，由于“pq”的等价命题是“qp”,即若q不成立，则p不成立，所以称q 是p成立的必要条件.（3）q 成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立
3、.5一般地,如果已知,即命题“若p则q”为真命题，那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件qp 充分条件与必要条件定义：的充分条件是112 xx的必要条件是112xx两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件112 xx例（1）（2）两三角形全等两三角形面积相等6例 1.下列“若 p,则 q”形式的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分条件？（1）若1x，则2430 xx；（2）若 f xx,则 fx 在 R 上为增函数；（3）若 x 为无理数，则2x 为无理数.解:命题(1)（2）是真命题，（3）是假命题.所以命题（1）（2）中的p是q的充
4、分条件.【说明】p是q的充分条件的前提是命题“若p,则q”为真命题.如果“若p则q”为假命题，那么由p推不出q,记作：pq此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.7例 2下列“若 p,则 q”形式的命题中，哪些命题中的 q 是 p 的必要条件？（1）若 xy,则22xy；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若,abacbc则.解：命题(1)（2）是真命题，（3）是假命题.所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件.8定义：1.,.q.pq qppq若则 是 的充分不必要条件是p的必要不充分条件.,.2互为充要条件与也说简称充要条件充分必要条件，是则即若qpqpq
5、ppqqp,.q.pq qppq3.若则 是 的既充分不必要条件是p的既必要不充分条件对于命题“若p则q”9例3 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？（1）p:(x-2)(x-3)=0；q:x-2=0.（2）p:同位角相等；q:两直线平行.（3）p:x=3；q:x2=9.（4）p:四边形的对角线相等；q:四边形是平行四边形.）（解：10)3)(2(xx02 x p是q的必要而不充分的条件.0)3)(2(02xxx（2）同位角相等 两直线平行，p是q的充要条件.（3）x=3 x2=9，x2=9x=3，p是q的充分而不必要的条件.（4）四边形的对角线相等四边形是平行四边形四边形是平行四边形四边形
6、的对角线相等p是q的既不充分也不必要的条件.3、由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件p和结论q的充分性、必要性可分为：pqqp即且充分不必要条件，)1(pqqp即但必要不充分条件，)2(pqqp即但充要条件，)3(pqqp即且，既不充分又不必要条件)4(解：(1)ab=0 a2+b2=0 即pq但 a2+b2=0ab=0 即qp p是q的必要非充分条件.例4.给出下列各组条件,p是q的什么条件?(1)p:ab=0,q:a2+b2=0;(2)p:xy0，q:|x|+|y|=|x+y|;(3)p:m0,q:方程x2-x-m=0有实根；(4)p:|x-1|2,q:x2,xy1
7、;q:x1,y1.(2)xy0|x|+|y|=|x+y|，即pq即qp p是q的充要条件.又|x|+|y|=|x+y|xy0，(3)m0 方程x2-x-m=0有实根，即pq但方程x2-x-m=0有实根m0，即qp p是q的充分非必要条件.(4)p:x3,q:x-1x|x-1x|x3pq 但qp p是q的必要非充分条件.x1,y1即qpx+y2,xy1但 x+y2,xy1x1,y1 即pq反例：取x=3，y=0.5，则x+y=3.52，xy=1.51，但 y=0.52,xy1;q:x1,y1.练习、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的一种填空.21)0,002 3 10104 5)536)7ABCAB tantanxyxyaNaZxxxxabacbcAB是的）是的）是的）同旁内角互补 是 两直线平行 的是的是的）已知不是直角三角形，是的（充分不必要条件）（充分不必要条件）（必要不充分条件）（必要不充分条件）（充要条件）（充要条件）（既不充分也不必要条件）16
