1、第四节二次函数与幂函数课标要求考情分析1.了解幂函数的概念2结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况3理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1.幂函数一般不单独命题，而常与指数函数，对数函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，主要考查幂函数的图象和性质2对二次函数相关性质的考查是命题热点，大多以选择题、填空题出现3试题难度以中、低档题为主，个别试题难度较大. 知识点一 二次函数的图象和性质解析式yax2bxc(a0)yax2bxc(a0(a0)恒成立的充要条件是“a0且0”；(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是
2、“a0且0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)二次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()解析：(1)由于幂函数的解析式为f(x)x，故y2x不是幂函数，(1)错(3)由于当b0时，yax2bxcax2c为偶函数，故(3)错(4)对称轴x，当小于a或大于b时，最值不是，故(4)错2小题热身(1)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k(C)A B1C D2(2)若存在非零的实数a，使得f(x)f(ax)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是(A)Af(x)x22x1 Bf(x)x21Cf(x)2x Df(x)2x1(
3、3)若函数f(x)4x2kx8在1，2上是单调函数，则实数k的取值范围是(，816，)(4)幂函数f(x)(m24m4)xm26m8在(0，)上为增函数，则m的值为1.解析：(1)因为f(x)kx是幂函数，所以k1.又f(x)的图象过点，所以，所以，所以k1.(2)由存在非零的实数a，使得f(x)f(ax)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x0.只有选项A中，f(x)x22x1关于x1对称(3)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x，所以要使f(x)在1,2上是单调函数，则有1或2，即k8或k16.(4)由题意知解得m1. 考点一幂函数的图象与性质【例1】(1)幂函数yf(x
4、)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()(2)若a，b，c，则下列正确的是()Aabc BacbCcab Dbca(3)已知幂函数f(x)x(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则m的值为_【解析】(1)设幂函数的解析式为yx，因为幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，所以24，解得.所以y，其定义域为0，)，且是增函数，当0xc，因为yx是减函数，所以cb，所以acb.(3)因为f(x)在(0，)上是减函数，所以m22m30，解得1m3.又mN*，所以m1或m2.由于f(x)的图象关于y轴对称所以m22m3为偶数又当m2时，m22m3为奇数，所以m2舍去，因此m
5、1.【答案】(1)C(2)B(3)11.若本例(3)中，将函数“f(x)x”变为“f(x)(m22m2)x”，其他条件不变，则m的值如何？解：由于f(x)为幂函数，所以m22m21，解得m1或m3，经检验只有m1符合题意，所以m1.2若本例(3)中已知条件不变，则(a1)(32a)中实数a的取值范围如何？解：因为yx在0，)上为增函数，所以(a1)(32a) 等价于0a132a，解得1a，故实数a的取值范围是.方法技巧(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(
6、1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.考点二二次函数的解析式【例2】(1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)_.【解析】(1)由函数f(x)的最小值为f(1)0，得f(x)a(x1)2ax22axa，又f(x)ax2bx1，所以a1，故f(x)x22x1.(2)因
7、为f(2x)f(2x)对任意xR恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x2.又因为f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)0的两根为1和3.设f(x)a(x1)(x3)(a0)，因为f(x)的图象过点(4,3)，所以3a3，即a1，所以f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.【答案】(1)x22x1(2)x24x3方法技巧求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴两交点的坐标，宜选用零点式.1已知函数f(x)x2bxc的图象的对称轴是直线x1，并且经过点A(3,0)，则f(
8、1)(C)A6 B2C0 D4解析：由题意知1，得b2，f(3)93bc96c0，c3，f(x)x22x3，f(1)1230.2右图是二次函数yf(x)的图象，若|OC|OB|3|OA|，且ABC的面积S6，则这个二次函数的解析式为f(x)x22x3.解析：因为|OB|OC|3|OA|，所以|AB|OA|OB|4|OA|，所以4|OA|3|OA|6，得|OA|1，所以A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)设这个二次函数的解析式为f(x)a(x1)(x3)，将点C(0,3)代入，得a1，所以这个二次函数的解析式为f(x)x22x3.考点三二次函数的图象与性质命题方向1 二次函数图象的识别及应用
9、【例3】(1)已知函数f(x)ax2bxc，不等式f(x)0的解集为x|x1，则函数yf(x)的图象可以为()(2)若直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则实数a的取值范围是_【解析】(1)由f(x)0的解集为x|x1知a0，yf(x)的图象与x轴的交点为(3,0)，(1,0)，所以yf(x)的图象开口向下，且与x轴的交点为(3,0)，(1，0)故选B.(2)yx2|x|a是偶函数，图象如图所示由图可知，若直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，需满足a1a，则1a.【答案】(1)B(2)命题方向2 二次函数的单调性与最值【例4】(1)已知函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减
10、的，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0(2)若函数f(x)ax22ax1在1,2上有最大值4，则a的值为_【解析】(1)当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；当a2xm恒成立，则实数m的取值范围是_【解析】f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调
11、递减，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)【答案】(，1)方法技巧1.二次函数的图象问题从开口方向、对称轴、三个“二次”间关系入手2二次函数在闭区间上的最值问题一般有以下两类题型：(1)定轴动区间，此时讨论对称轴与区间端点的位置关系(2)定区间动轴，此时讨论对称轴与区间的位置关系注意：对于闭区间上含参数的二次函数的最值，应对系数进行讨论，要遵守分类讨论中的三原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，决不无原则地分类讨论3由不等式恒成立求参数的取值范围的两种思路(1)数形结合法ax2bxc0)对xx1，x
12、2)恒成立其中f(x)ax2bxc.(2)分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.1(方向1)(2020辽宁联考)函数y1|xx2|的图象大致是(C)解析：由题意知，当x1时，y1|11|1，所以舍去A，D，当x2时，y1|24|1，所以舍去B，故选C.2(方向2)若二次函数ykx24x2在区间1,2上是单调递增函数，则实数k的取值范围为(A)A2，) B(2，)C(，0) D(，2)解析：二次函数ykx24x2的对称轴为x，当k0时，要使函数ykx24x2在区间1,2上是增函数，只需1，解得k2.当k0时，0，此时抛物线的对称轴在区间
13、1,2的左侧，该函数ykx24x2在区间1,2上是减函数，不符合要求综上可得实数k的取值范围是2，)3(方向2)已知函数yx22x3在0，m上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为(B)A0,1 B1,2C(1,2 D(1,2)解析：如图，作出函数yx22x3的图象，由图象可知m的取值范围是1,2故选B.4(方向3)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为.解析：2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a0)的实根分布【典例】已知方程x22(a2)xa210.(1)当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；(2)当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围【解】由题意知，4(a2)24(a21)16a20.(1)方程x22(a2)xa210有两个负根，解得即a1或a1.实数a的取值范围是(1，)(2)方程x22(a2)xa210有一个正根和一个负根，f(0)a210，解得1a1，实数a的取值范围是(1,1)【素养解读】本例(2)可以采用(1)的解法x1x2a210求解已知一元二次方程x2mx30(mZ)有两个实数根x1，x2，且0x12x24，则m的值为(A)A4 B5C6 D7解析：令f(x)x2mx3，由题意得解得m.结合mZ，可得m4，故选A.