1、第5讲 不等式选讲 考纲要求考点分布考情风向标1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.2.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.(1)柯西不等式的向量形式：|.(2)(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(3).(此不等式通常称为平面三角不等式)3.不等式选讲考纲(3)(6)略.7.会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.8.了解证明不等式的
2、基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、缩放法2011年新课标卷第24题考查解绝对值不等式；2012年新课标卷第24题考查含绝对值不等式的解法；2013年新课标卷第24题(1)求绝对值不等式的解集；(2)含参不等式的求解；2014年新课标卷第24题均值不等式的应用；2015年新课标卷第24题考查含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法从近几年的高考试题来看，利用绝对值的几何意义求最值和解绝对值不等式是考试的重点x1x22y1y22 x2x32y2y32x1x32y1y321.常用的证明不等式的方法(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法.(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式
3、(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式.(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立.(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式AB，先假设 AB，由题设及其他性质，推出矛盾，从而肯定AB.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.(5)放缩法：要证明不等式 A0，|f(x)|aaf(x)af(x)a.(2)理解绝对值的几何意义
4、：|a|b|ab|a|b|.1.(2015 年新课标)已知函数 f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.解：(1)当 a1 时，不等式 f(x)1 化为|x1|2|x1|1，等价于x1，x12x21或1x1或x1，x12x21，解得23x1 的解集为x23x2.(2)由题设可得 f(x)x12a，xa.所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A2a13，0，B(2a1,0)，C(a，a1)，所以ABC 的面积为23(a1)2.由题设得23(a1)26
5、.解得 a2.所以 a 的取值范围为(2，).(1)求 a3b3 的最小值；(2)是否存在 a，b，使得 2a3b6？并说明理由.2.(2014 年新课标)若 a0，b0，且1a1b ab.解：(1)由 ab1a1b 2ab，得 ab2，当且仅当 ab 2时等号成立.故 a3b32 a3b34，当且仅当 ab 2时等号成立.所以 a3b3 的最小值为 4.(2)由(1)知，2a3b2 6 ab4 3.由于 4 36，从而不存在 a，b，使 2a3b6.3.(2013 年新课标)已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)1 时，且当 x值范围.1,
6、2 2a解：(1)当 a2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数 y|2x1|2x2|x3，其图象如图 D63，从图象可知，则 y 5x，x1.图 D63当且仅当 x(0,2)时，y0，所以原不等式的解集是x|0 x0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：2a3b3(2ab2a2b)(2a32ab2)(a2bb3)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)，又ab0，ab0，ab0,2ab0(ab)(ab)(2ab)0.2a3b3(2ab2a2b)0.2a3b32ab2a2b.【规律方法】比较法证不等式的步骤可归纳为：作差并化简
7、，其化简目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；得出结论.例 2：(2013 年新课标)设 a，b，c 均为正实数，且 abc1，证明：证明：(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得 a2b2c2abbcca.由题设，得(abc)21，即 a2b2c22ab2ac2bc(1)abbcca13；(2)a2b b2c c2a1.1，即3ab3bc3ac1，即abbcca .13(2)因为a2b b2a，b2c c2b，c2aa2c，所以a2b b2c c2a(abc)2(abc)，即a2b b2c c2aabc.所以a2b b
8、2c c2a1.【规律方法】分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法.用分析法论证“若 A，则 B”这个命题的模式是：欲证命 题 B 为真，只需证明命题B1 为真，从而又只需证明命题B2 为真，从而又只需证明命题A 为真，今已知A 真，故B 必真.简写为：BB1B2BnA.例 3：已知，0，2，且，求证：tantan2tan2.证明：欲证 tantan2tan2，即证sincossincos2s
9、in2cos2，即只需证sincoscos2sin2cos2.2 0，2，sin2 0.故只需证cos2coscos1cos2sin2sin2 cos2，只需证 cos22 coscos，1cos即证2coscos，即证 1coscossinsin2coscos，只需证 1cos()，结论显然成立.故原不等式成立.考点 2 绝对值不等式例 4：(2012 年新课标)已知函数 f(x)|xa|x2|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x)|x4|的解集包含1,2，求 a 的取值范围.2x5，x2，解：(1)当a3 时，f(x)1，2x3，2x5，x3，当 x2 时，
10、由 f(x)3，得2x53.解得 x1；当 2x3 时，f(x)3，无解；当 x3 时，由 f(x)3，得 2x53.解得 x4.f(x)3 的解集为x|x1 或 x4.(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|，当 x1,2时，|xa|x4|x2|4xx22，2ax2a.由条件得2a1，且 2a2，即3a0.故满足条件的 a 的取值范围为3,0.例 5：已知函数 f(x)|ax2|axa|(a0).(1)当 a1 时，求 f(x)x 的解集；(2)若不存在实数 x，使 f(x)3 成立，求 a 的取值范围.解：(1)当 a1 时，f(x)|x2|x1|x，当 x2 时，解得 x3；当 1x2
11、时，解得 x1.无解；当 x1 时，解得 x1.综上可得到解集x|x1，或 x3.(2)依题意，对xR，都有 f(x)3.则 f(x)|ax2|axa|(ax2)(axa)|a2|3.a23，或 a23.a5，或 a1(舍去).a5.例 6：(2015 年福建)已知 a0，b0，c0，函数 f(x)|xa|xb|c 的最小值为 4.(1)求 abc 的值；解：(1)因为 f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb 时，等号成立，又 a0，b0，所以|ab|ab.所以 f(x)的最小值为 abc.所以 abc4.(2)求14a219b2c2 的最小值.(2)由(1)
12、知，abc4，由柯西不等式，得14a219b2c2(491)12a213b3c1 2(abc)216，即14a219b2c287.当且仅当14a19bc，即 a87，b187，c27时，等号成立.所以14a219b2c2 的最小值为87.1.利用比较法证明不等式时，为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负.2.分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，即综合法是分析法的逆过程.混淆了它们间的区别与联系易产生思维障碍.要注意两种证明方法的书写格式，否则易产生逻辑上的错误.利用反证法证明问题是从否定结论入手的，没有使用假设命题而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.3.放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.常用的放缩技巧有：舍掉(或加进)一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；应用均值不等式进行放缩.4.掌握绝对值不等式的解法和利用证明不等式的基本方法.5.含绝对值不等式的解法：等价转化法、分类讨论法及平方法.