1、第八章 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图和直观图 考纲要求考点分布考情风向标1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)2011 年新课标卷第 8 题考查简单几何体的三视图；2012 年新课标卷第 7 题考查简单几何体的三视
2、图及体积计算；2013 年新课标卷第 11 题考查简单几何体的三视图，并计算其体积；2014 年新课标卷第 8 题考查由三视图想象空间图形；2015 年新课标卷第 6 题考查简单几何体的三视图、正方体及三棱锥的体积公式；2015 年新课标卷第 11 题考查简单几何体的三视图、圆柱的侧面积公式及球的表面积公式从近几年的高考试题来看，对本节内容的考查形 式比较稳定，多是将三视 图与位置关系融为一 体.“三视图”是新课标增 加的内容，是近年高考的 热点，重点考查画实物三 视图(辨析为主)或根据三 视图还原实物，并多与面积、体积的计算交汇命题.备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构
3、特征的题型.要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图1.空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.(续表)旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到；(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到；(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到；(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.2.三视图与直观图
4、三视图画法规则：长对正，高平齐，宽相等直观图空间几何的直观图：常用斜二测画法来画.基本步骤是：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直.原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.1.如图 8-1-1 所示的是一幅电热水壶的主视图，它的俯视图是()D图 8-1-12.(2014 年福建)某空间几何体的正视图是三角形，则该几)A何体不可能是(A.圆柱C.四面体B.圆锥D.三棱柱解析：由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使
5、其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形.故选A.3.(2014 年新课标)如图 8-1-2，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()图 8-1-2A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析：由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.故选 B.B4.小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是()A考点 1 空间几何体的结构特征例 1：(1)如图 8-1-3，模块均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块由 15 个棱长为 1 的小正方体构成.现从模块中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱
6、长为)3 的大正方体，则下列方案中，能够完成任务的为(图 8-1-3A.模块C.模块B.模块D.模块解析：本小题主要考查空间想象能力.先补齐中间一层，只能用模块或，且如果补，则后续两块无法补齐，所以只能先用补中间一层，然后再补齐其他两块.答案：A(2)在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体形的 4 个顶点，这些几何形体是_(写出所有正确结论的编号).矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.解析：如图D38，四边形AA1C1C为矩形；三棱锥B1A1BC1就是有三个面为等腰直角
7、三角形，有一个面为等边三角形的四 面体；三棱锥DA1BC1就是每个面都是等边三角形的四面体；三棱锥A1ABC就是每个面都是直角三角形的四面体.图 D38答案：【互动探究】图 8-1-4 1.如图814，E，F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是_(填序号).解析：由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是，故错误.答案：考点 2 几何体的三视图例 2：(1)(2011 年新
8、课标)在一个几何体的三视图中，正视)图和俯视图如图 8-1-5，则相应的侧视图可以为(图 8-1-5ABCD解析：条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿 底面对角线截出的部分与底面为半径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的.故选 D.答案：D(2)(2014 年新课标)如图 8-1-6，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，)则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(图 8-1-6A.1727B.59C.1027 D.13解析：该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为
9、22432234(cm3)，圆柱体毛坯的体积为 32654(cm3)，所以切削掉部分的体积为 543420(cm3)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20541027.故选 C.答案：C(3)(2015 年新课标)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯)视图如图 8-1-7，若该几何体的表面积为 1620，则 r(图 8-1-7A.1B.2C.4D.8解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱 的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其解得 r2.故选 B.答案：B表面积为124r2r2rr22r2r5r
10、24r21620.(4)(2015 年新课标)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图 8-1-8，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()图 8-1-8A.18B.17 C.16D.15图 D39答案：D解析：由三视图得，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，截去四面体 A-A1B1D1，如图 D39，设正方体棱长为 a，则1 1 1A AB DV 13 12a316a3，故剩余几何体体积为 a316a356a3.所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.故选 D.【规律方法】画三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即“正、俯视图一样长，正、侧视图一样高，俯、侧视
11、图一样宽”，看得见的线条为实线，被遮挡的为虚线.【互动探究】2.将正方体(如图 8-1-9)截去两个三棱锥，得到如图 8-1-10所示的几何体，则该几何体的侧视图为()图 8-1-9图 8-1-10ABCD解析：画出三视图，如图 D40.故选 B.图 D40答案：B考点 3 几何体的直观图例3：已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.34 a2B.38 a2C.68 a2D.616a2解析：如图 8-1-11(1)(2)所示的实际图形和直观图.图8-1-11答案：D由斜二测画法知，ABABa，OC12OC 34 a.在图 8-1-11(2)中作 CDAB于点
12、D，则 CD 22 OC 68 a.SABC12ABCD12a 68 a 616a2.【规律方法】用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，而其中的关键是确定多边形顶点的位置；将直观图还原为其空间几何体时，应抓住斜二测画法的规则.先画出正三角形 ABC 的平面直观图ABC，再求ABC的高即可.本题采用斜二测画法作其直观图时，底不变，第三个顶点在 y轴上，长度为原高的一半，但它还不是高(夹角为 45)，所以新三角形的高是原高的 24 倍，所以直观图的面积是原三角形面积的 24 倍.【互动探究】D3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长均为 1 的
13、等腰梯形，则该平面图形的面积等于()A.12 22B.1 22C.1 2 D.2 2易错、易混、易漏 将三视图还原成几何体时对数据的判断产生错误 例题：(1)(2014 年新课标)如图 8-1-12，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面)体的各条棱中，最长的棱的长度为(图 8-1-12A.6 2 B.4 2 C.6 D.4正解：如图 8-1-13，ABBD，ABBDEC4，E 为中点 BCCD,最长的棱为 AC，其长度为 4222426.故选 C.图 8-1-13答案：C(2)(2013 年山西诊断)如图 8-1-14，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2
14、，且侧棱AA1底面A1B1C1，正视图是边)长为 2 的正方形，该三棱柱的侧视图面积为(图 8-1-14A.4 B.2 3 C.2 2 D.3正解：该三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的高是侧棱长答案：B【失误与防范】三视图还原求面积或体积时一定要注意几何体摆放的形式，所给数据究竟是棱长还是棱的投影(高).为 2，底边长为点 C 到边 AB 的距离 2sin3 3，故其侧视图的面积为 2 3.1.要明确柱体、锥体、台体和球的定义，定义是处理问题的关键；认识和把握空间几何体的结构特征是认识几何体的基础.旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要清楚圆柱、圆锥、圆台和球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质.2.同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.3.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.4.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于 x轴的线段平行性不变，长度不变，平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半.”