1、第4讲 数列的求和 考纲要求考点分布考情风向标1.掌握等差数列、等比数列的求和公式.2.了解一般数列求和的几种方法2013 年新课标卷第 17 题(2)考查裂项相消法数列求和；2013 年大纲卷第 17 题考查裂项相消法数列求和；2014 年新课标卷第 17 题(2)考查错位相减法数列求和从近两年的高考试题来看，对等差、等比数列的求和，以考查公式为主；对非等差、非等比数列的求和，主要考查分组求和、裂项相消法、错位相减法等.题型既有选择题、填空题，又有解答题，属较难题目Snna1，q1，a11qn1qa1anq1q，q1.公式法分组求和裂项相消错位相减等差数列等比数列把一个数列分成几个可以直接求
2、和的数列有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩下有限项再求和适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和数列求和Snna1an2na1nn12d2.若数列an满足a11，an12an(nN*)，则a5_，前 8 项的和 S8_(用数字作答).B162551.数列an的前 n 项和为 Sn，若 an1nn1，则 S5()A.1 B.56 C.16D.13012n(n1)1 12n1203.数列 112，214，318，n 12n，的前 n 项和 Sn_.4.数列an的通项公式为 an1n n1，若前 n 项的和为10，则项数 n_.考点 1 公式或分组法求
3、和 所以ana1(n1)dn2.例1：(2015年福建)等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；解：(1)设等差数列an的公差为 d.由已知，得a1d4，a13da16d15.解得a13，d1.(2)设bn22 na n，求b1b2b3b10的值.【规律方法】若一个数列是由等比数列和等差数列组成，则求和时，可采用分组求和，即先分别求和，再将各部分合并.(2)由(1)可得 bn2nn.所以 b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)2121012110102(2112)55 211532101.【互动探究】1.(201
4、4 年湖南)已知数列an的前 n 项和 Snn2n2，nN*.(1)求数列an的通项公式；解：(1)当 n1 时，a1S1112 1.由 Snn2n2，得 Sn1n12n12.当 n2 时，anSnSn1n2n2n12n12n.经检验首项 a1 也满足 ann，数列an的通项公式为 ann.(2)设bn2 na(1)nan，求数列bn的前2n项和.(2)bn2 na(1)nan2n(1)nn，数列bn的前2n项和T2n(21222322n)1234(2n1)2n 2122n12(12)(34)(2n1)2n22n12n.T2n22n1n2.考点 2 裂项相消法求和 例2：(2015年安徽)已知
5、数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；前 n 项和 Tn.(2)设 Sn 为数列an的前 n 项和，bn an1SnSn1，求数列bn的解：(1)由题设可知 a1a4a2a38，又 a1a49,可解得a11，a48或a18，a41(舍去).由 a4a1q3，得公比 q2.故 ana1qn12n1.(2)Sna11qn1q12n12 2n1.又 bn an1SnSn1Sn1SnSnSn1 1Sn 1Sn1，所 以 Tn b1 b2 bn 1S1 1S2 1S2 1S3 1Sn 1Sn1 1S1 1Sn1112n11.【规律方法】本题利用“若 mnpq，则
6、 amanapaq”，是解决本题的关键，同时考生发现 bn an1SnSn1Sn1SnSnSn1 1Sn1Sn1是解决本题求和的关键，本题考查了考生的基础运算能力.【互动探究】2.(2013 年新课标)已知等差数列an的前 n 项和 Sn 满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列1a2n1a2n1 的前 n 项和.解：(1)设an的公差为 d，则 Snna1nn12d.由已知可得3a13d0，5a110d5.解得 a11，d1.故an的通项公式为 an2n.(2)由(1)知，1a2n1a2n1132n12n 1212n312n1，从而数列1a2n1a2n1 的前 n 项和为 1
7、21111111312n312n1 n12n.考点 3 错位相减法求和 例3：(2014年新课标)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根.(1)求an的通项公式；(2)求数列an2n 的前 n 项和.解：(1)方程 x25x60 的两根为 2,3，由题意，得 a22，a43.设数列an的公差为 d，则 a4a22d，故 d12，从而 a132.所以an的通项公式为 an12n1.(2)设an2n 的前 n 项和为 Sn，由(1)知，an2nn22n1，则 Sn 322 423n12n n22n1，12Sn 323 424n12n1 n22n2.两式相减，得 12Sn3412
8、3 12n1 n22n2 34141 12n1 n22n2.所以 Sn2n42n1.【规律方法】1一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.【互动探究】(2)当 d1 时，记 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn.解：(1)由题意，有10a145d100，a1d2.解得a11，d2，或a19，d29.3.(2015年湖北)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列
9、bn的公比为q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；故an2n1，bn2n1，或an192n79，bn929n1.(2)由 d1，知an2n1，bn2n1.故 cn2n12n1.于是 Tn132 522 7232n12n1，12Tn12 322 523 724 9252n12n.可得12Tn212 122 12n22n12n32n32n.故 Tn62n32n1.思想与方法 放缩法在数列中的应用 例题：(2014 年广东)设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn 满足 S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求 a1 的值；(2
10、)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有1a1a111a2a211anan10，S12，S13(舍去)，即 a12.(2)解：由 S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，得(Sn3)Sn(n2n)0.an0(nN*)，Sn0，从而 Sn30.Snn2n.当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.又 a1221，an2n(nN*).(3)证明：当 kN*时，k2k2k2k2 316k14 k34，1akak112k2k114 1kk12 14 1k14 k34 14 1k14 k114 141k141k114.1a1a111a2a211anan1 141114 12
11、141214 1314 1n141n114 1411141n1141314n313.【规律方法】本题要利用放缩技巧构造裂项相消法求和.本 题的关键在于能否看出条件方程能十字相乘求出Sn，然后利用anSnSn1求an，观察2013年江西卷与2014年广东卷何其相似，请记住，它山之石，可以攻玉！数列求和常见类型及方法 1.anknb型，利用等差数列的前n项和公式直接求解.2.ana1qn1型，利用等比数列的前n项和直接求解，但要注意对q分q1与q1两种情况进行讨论.3.anbncn，数列bn，cn是等比数列或是等差数列，采用分组求和.4.anbncn，数列bn是等差数列，cn是等比数列，采用错位相减法求和，在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.5.对于通项可化为anf(n)f(n1)形式的数列，采用裂项相消法求和，在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.6.对于ankakc(c为常数)，可考虑采用倒序相加求和.7.an(1)nf(n)，可采用相邻两项合并求解，即采用“并项法”求和.