1、第8讲 解三角形应用举例 考纲要求考点分布考情风向标1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2011 年新课标卷第 15 题考查余弦定理和面积公式；2012 年新课标卷第 17 题以解三角形为背景，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式；2013 年新课标卷第 10 题以解三角形为背景，考查倍角公式及余弦定理；2014 年新课标卷第 16 题以解三角形为背景，考查正弦定理；2015 年新课标卷第 17 题以解三角形为背景，考查正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形面积公式1.本节复习时，应联系生活
2、实例，体会建模，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法2.加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力，这也是近几年高考的热点之一已知条件应用定理一般解法一边和两角(如 a，B，C)正弦定理由 ABC180，求角 A；由正弦定理求 b 与 c.在有解时只有一解两边和夹角(如 a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出角 A 或 B；再由 ABC180求另一角在有解时只有一解1解三角形的常见类型及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解，常见类型及其解法如下表所示：已知条件应用定理一般解法三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求角 A，B
3、；再由 ABC180求角 C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如 a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求角 B；再由 ABC180，求角 C；再利用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解、一解或无解(续表)2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题等3实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角如图 3-8-1(1)图 3-8-1(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目
4、标方向线的水平角，如 B 点的方位角为如图 3-8-1(2)(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数1若点 A 在点 B 的北偏西 30，则点 B 在点 A 的()A北偏西 30C南偏东 30B北偏西 60D东偏南 30解析：如图 D15，点 B 在点 A 的南偏东 30.图 D15C2如图 3-8-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得CAB75，CBA)A45，且 AB200 m则 A，C 两点的距离为(图 3-8-2A200 63 m B100 6 mC100 63 m D200 2 m3江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯
5、角分别为 45和 30，且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距()A10 3 m B100 3 m C20 30 m D30 m解析：如图 D16，过炮台顶点 A 作水平面的垂线，垂足为B.设A 处测得船 D 的俯角为30，连接BC，BD.在RtABC 中，ACB45,则ABBC30 m在RtABD中，ADB30，30m，CBD30，由余弦定理，得CD2 BC2 BD2 2BCBDcos CBD900 2700 230 900.CD30 m.答案：D图 D16则 BD 3AB30 3 m在BCD 中，BC30 m，BD3330 324一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个
6、灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速度是()A5 海里/时B5海里/时C10 海里/时D10海里/时33图 D17答案：C解析：如图 D17，依题意有BAC60，BAD75，故CADCDA15，从而 CDCA10.在 RtABC 中，ACB30，AB12AC5，这艘船的速度是 50.510(海里/时)考点 1 测量距离问题 例 1：(2014 年四川)如图 3-8-3，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度 BC()图 3-8-3A240(31)m
7、 B180(21)mC120(31)m D30(31)m答案：C【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.解析：气球的高是 60 m，AC120 m，AB 60sin75 m，在ABC 中，ABsin30 BCsin45，所以 BCABsin45sin30 60sin45sin75sin3060 226 2412 24031120(31)m.【互动探究】1在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标 C，若 A75，B 60，则 A，C 两点之间的距离为_km.6解析：由条件知，
8、C180756045.由正弦定理，得 ACsinB ABsinC，即 ACsin602sin45.解得 AC 6.考点 2 测量高度问题例 2：(1)(2015 年湖北)如图 3-8-4，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.图 3-8-4解析：在ABC 中，CAB30，ACB753045，根据正弦定理知，BCsinBACABsinACB，即 BCABsinACB sinBAC6002212300 2.所以 CDBCtanDBC300
9、 2 33 100 6，故填 100 6.答案：100 6(2)(2014 年新课标)如图 3-8-5，为测量山高 MN，选择点A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从点 A 测得点 M 的仰角为MAN60，点 C 的仰角为CAB45，以及MAC75；从点 C 测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山高MN_m.图 3-8-5解析：根据题意，在ABC 中，已知CAB45，ABC90，BC100，易得 AC100 2；在AMC 中，已知MAC75，MCA60，AC100 2，易得AMC45.由正弦定 理，得ACsinAMC AMsinMCA，即 AM 100 22232 100 3；在AM
10、N 中，已知MAN60，MNA90，AM100 3，易得 MN150.答案：150【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念(2)分清已知量和待求量，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内运用正弦或余弦定理【互动探究】2在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 30，60，则塔高为_m.解析：如图 D18，由已知可得BAC30.CAD30.BCA60，ACD30，ADC120.又 AB200 m，AC在ACD 中，由余弦定理，得AC22CD22CD2cos1203CD2.图 D1840034003 m.3CD 13AC4003 m.考点 3 测量角度问题例 3
11、：如图 3-8-6，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin的值图 3-8-614(海里/时)解：(1)依题意，得BAC120，AB12，AC10220(海里)，BCA.在ABC 中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos120784.解得 BC28.故渔船甲的速度为BC2答：渔船甲的速度为 14 海里/时(2)在ABC 中，AB12，BAC
12、120，BC28，BCA，【规律方法】关于角度的问题同样需要在三角形中进行，同时要理解实际问题中常用角的概念：仰角和俯角、方向角、方位角、坡度等.由正弦定理，得 ABsinBCsin120，即 sinABsin120BC12 32283 314.答：sin 的值为3 314.【互动探究】3两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A在观察站北偏东 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()BA北偏东 10C南偏东 10B北偏西 10D南偏西 10难点突破三角函数在解三角形中的应用例题：(2014 年新课标)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，A
13、B1，BC3，CDDA2.(1)求角 C 和 BD；(2)求四边形 ABCD 的面积解：(1)由题设及余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcosC1312cosC，BD2AB2DA22ABDAcosA54cosC.由，得 cosC12.C60.BD254127，即 BD 7.(2)四边形 ABCD 的面积S12ABDAsinA12BCCDsinC12121232 sin602 3.【规律方法】本题与某年北京高考题几乎完全相同，请思 考：已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB2，BC6，CDDA4，求四边形 ABCD 的面积解：如图 3-8-7，连接 BD，则有四边形 ABCD 的面
14、积图 3-8-7SSABDSCDB12ABADsinA12BCCDsinC.AC180，sinAsinC.S12(ABADBCCD)sinA12(2464)sinA16sinA.由余弦定理，在ABD 中，BD2AB2AD22ABADcosA2242224cosA2016cosA.在CDB 中，BD2CB2CD22CBCDcosC6242264cosC5248cosC.2016cosA5248cosC.cosCcosA，64cosA32，cosA12.A120.S16sin1208 3.1运用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式可以求有关三角形的边、角、外接圆半径、面积的值或范围等基本问题2本节的难点是三角形形状的判断与三角形实际应用问题的解决主要是学生看不到问题的本质，受到许多非本质问题的干扰要加强将实际问题转化为数学问题的能力的训练