1、20202021学年度第二学期北京育才学校高二数学期中考试试卷（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共.40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 在数列中，且，则等于A. 8B. 6C. 9D. 7【答案】D2. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B3. 将一枚均匀硬币随机掷3次，恰好出现2次正面向上的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C4. 曲线在点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A5. 已知等差数列中，公差，如果，成等比数列，那么等于（ ）A. 2或B. C. 2D. 3【答案】C6. 函数在
2、（ ）A. 内是增函数B. 内是增函数，在其余区间内是减函数C. 内是减函数D. 内是减函数，在其余区间内是增函数【答案】B7. 九章算术的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐齐去长安三千里良马初日行一百九十三里，日增一十三里驽马初日行九十七里，日减半里”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去已知长安和齐的距离是3000里良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（ ）A. 1235B. 1800C. 2600D. 3000【答案】A8. 函数的大致图象是A. B
3、. C. D. 【答案】A9. 甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军，4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.甲乙丙丁甲：0.30.30.8乙0.7：0.60.4丙0.70.4：0.5丁0.20.605：那么甲得冠军且丙得亚军的概率是（ ）A. 0.21B. 0.15C. 0.105D. 0.045【答案】D10. 函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：；函数在区间上是增函数其中正确判断是A. B. C. D. 【答案】C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分
4、，共25分.把答案填在题中横线上.11. 设是等差数列的前项和，若，则_.【答案】1012. 已知函数，则_.【答案】13. 离散型随机变量的分布列为：123且，则_；_.【答案】 . ； . 14. 等比数列满足如下条件：；数列单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式_.【答案】(答案不唯一)15. 研究函数的性质，完成下面两个问题：将，按从小到大排列为_；若方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是_.【答案】 . . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均
5、未命中的概率为.（）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.【答案】（）；（）17. 已知函数（）求函数的单调增区间和减区间；（）当时，求函数的最值和最值点.【答案】（）函数的单调增区间为，；减区间；（）函数的最大值为，最大值点；最小值为，最小值点.18. 已知数列中，_，其中.（）求数列的通项公式；（）设，求证：数列是等比数列；（）求数列的前项和.从前项和，且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.【答案】选结果均相同，（）；（）见解析；（）19. 流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传
6、播.科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播下表记录了某年甲、乙两个城市12个月空气月平均相对湿度.第一季度第二季度第三季度第四季度1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月甲地54%39%46%54%56%67%64%66%78%72%72%59%乙地38%34%31%42%54%66%69%65%62%70%（）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为，求的分布列和数学期望；（）若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，求的最大值和最小值.（只需写出结论）【答案】（）；（）分布列见解析，；（）最大值为，最小值为20. 已知函数（）当时，求曲线的在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若恒成立，求的取值范围【答案】（）；（）见解析；（），21. 已知函数.（）求函数极值；（）求证：当时，；（）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围.【答案】（）极大值1，无极小值；（）见解析；（）
