1、第六节离散型随机变量及其分布列课标要求考情分析1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个离散型随机变量的分布列2理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.1.以考查离散型随机变量的分布列及分布列性质的应用为主，常与期望、方差一起考查，另外超几何分布也是考查的热点2题型主要是解答题，解题时要求有较强的分析问题、解决问题的能力，要求会依据题设确定离散型随机变量的值及其相应概率. 知识点一离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，表示所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量知识点二离散型随机变
2、量的分布列及其性质1一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列2离散型随机变量的分布列的性质：(1)pi0(i1,2，n)；(2)i1.知识点三常见离散型随机变量的分布列1两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1pp其中pP(X1)称为成功概率2超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，
3、则事件Xk发生的概率P(Xk)，k0,1,2，m，即X01mP其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应()(2)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布()2小题热身(1)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(C)A取到产品
4、的件数 B取到正品的概率C取到次品的件数 D取到次品的概率(2)已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，那么的取值为(C)A0,1 B1,2C0,1,2 D0,1,2,3(3)设随机变量X的分布列如下：X12345Pp则p为(C)A. B.C. D.(4)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0).(5)从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球设其中有个红球，则随机变量的概率分布为012P0.10.60.3 .解析：(1)对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是
5、随机变量(2)因为8件产品中有2件次品，所以表示次品件数的取值为0,1,2.(3)由分布列的性质，p1，p1.(4)由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X1)2P(X0)，由P(X1)P(X0)1，得P(X0).(5)可取0,1,2.又P(0)0.1，P(1)0.6，P(2)0.3.的分布列为012P0.10.60.3考点一离散型随机变量分布列的性质【例1】(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为X101P23qq2则q的值为()A1 B.C. D.(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则PX的值为()A. B.C. D.【解析】(1)由分布
6、列的性质知解得q.(2)由a1，知a1，得a.故PP(X1)P(X2).【答案】(1)C(2)D方法技巧离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求2X1的分布列解：由分布列的性质，知0.20.10.10.3m1，解得m0.3.列表X012342X113579所以2X1的分布列为2X113579P0.20.10.10.30.3考点二求离
7、散型随机变量的分布列【例2】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列【解】(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A).(2)X的可能取值为200,300,400，则P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400P
8、方法技巧离散型随机变量分布列的求解步骤有编号为1,2,3，n的n个学生，入座编号为1,2,3，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X2时，共有6种坐法(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列解：(1)因为当X2时，有C种坐法，所以C6，即6，n2n120，解得n4或n3(舍去)，所以n4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意知X的可能取值是0,2,3,4，所以P(X0)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，所以随机变量X的分布列为X0234P考点三超几何分布【例3】在测试中，客观题难度的计算公式为Pi，其中P
9、i为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度Pi0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345答测答对人数161614144(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中答对第5题的人数为X，求X的分布列；(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差，设Pi为第i题的实测难度，并定义统计量S(P1P1)2(P2P2)2
10、(PnPn)2，若S0.05，则本次测试的难度预估合理，否则不合理，试检验本次测试对难度的预估是否理【解】(1)因为20人中答对第5题的人数为4，因此第5题的实测难度为0.2，所以，估计240人中有2400.248人实测答对第5题(2)X的所有可能取值是0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列为X012P(3)将抽样的20名学生测试中第i题的实测难度作为240名学生测试中第i题的实测难度列表如下：题号12345实测难度0.80.80.70.70.2S(0.80.9)2(0.80.8)2(0.70.7)2(0.70.6)2(0.20.4)20.012.因为S0.0120.05，
11、所以，该次测试的难度预估是合理的方法技巧超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用方案如下：将一个444的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体经过
12、搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖一次中奖的礼品价值为.(1)求P(3)(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望解：(1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，P(3).(2)的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6，的取值为50,30,10,0，P(50)P(6)，P(30)P(5)，P(10)P(4)，P(0)1.5030100PE()5030100.