1、课时跟踪检测（二十） 圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点一、基本能力达标1过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有()A1条B2条C3条 D4条解析：选B点(2,4)位于抛物线y28x上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切2若直线kxy30与椭圆1有两个公共点，则实数k的取值范围是()A.B.C.D.解析：选C由得(4k21)x224kx200，当16(16k25)0，即k或kb0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是()A. B.C. D.解析：选A最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦将点(c，y)的
2、坐标代入椭圆1，得y，故最短弦长是.2椭圆mx2ny21与直线y1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是()A. B.C. D.解析：选A由消去y得，(mn)x22nxn10.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，则x1x2，x0，代入y1x得y0.由题意，选A.3已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k()A. B.C. D.解析：选D将yk(x2)代入y28x，得k2x2(4k28)x4k20，设A(x1，y1), B(x2，y2)，则x1x2，x1x24，抛物线y28x的
3、准线方程为x2，由|FA|2|FB|及抛物线定义得x122(x22)，即x122x2，代入x1x24，整理得xx220，解得x21或x22(舍去)所以x14，5，解得k2，又因为k0，所以k.4设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_解析：不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，得|PF1|4a，|PF2|2a，|F1F2|2c，则在PF1F2中，PF1F230，由余弦定理得(2a)2(4a)2(2c)22(4a)(2c)cos 30，整理得(e)20，所以e
4、.答案：5若抛物线y24x与直线yx4相交于不同的两点A，B，求证OAOB.证明：由消去y，得x212x160.直线yx4与抛物线相交于不同两点A，B，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x212，x1x216.x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)x1x2x1x24(x1x2)161616412160，即OAOB.6在直角坐标平面内，已知点A(2,0)，B(2,0)，P是平面内一动点，直线PA，PB斜率之积为.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点作直线l与轨迹C交于E，F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围解：(1)设P点的坐标为(x，y)，依题意，有(x2)，化简并整理，得1(x2)动点P的轨迹C的方程是1(x2)(2)依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方程为xmy，联立消去x，并整理得4(3m24)y212my450，0恒成立设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，则y1y2，y0，x0my0，k.当m0时，k0；当m0时，k.4|m|8，0，0|k|，k且k0.综合可知直线MA的斜率k的取值范围是.
