1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。阶段提升课第一课空间向量与立体几何思维导图构建网络考点整合素养提升题组训练一 空间向量的运算1已知a(2，3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x()A(0，3，6) B(0，6，20)C(0，6，6) D(6，6，6)【解析】选B.由bx2a得x4a2b，又4a2b4(2，3，4)2(4，3，2)(0，6，20)，所以x(0，6，20).2如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M在AC上，且AMMC，点N在A1D上，且A1N2ND.设a，b，c，则()A.a
2、bc BabcCabc Dabc【解析】选A.因为点M在AC上，且AMMC，点N在A1D上，且A1N2ND，所以，又ABCDA1B1C1D1为平行六面体，且a，b，c，所以ab，bc，所以(ab)c(bc)abc.3已知向量a(x，1，2)，b(1，y，2)，c(3，1，z)，ab，bc.(1)求向量a，b，c；(2)求ac与bc所成角的余弦值. 【解析】(1)因为向量a(x，1，2)，b(1，y，2)，c(3，1，z)，且ab，bc，所以解得所以向量a(1，1，2)，b(1，1，2)，c(3，1，1).(2)因为ac(2，2，3)，bc(4，0，1)，所以(ac)(bc)24203(1)5，
3、|ac|，|bc|，所以ac与bc所成角的余弦值为.空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件(1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy.题组训练二 空间向量与线面位置关系1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()A.当点Q为线段B1P的中点时，
4、DQ平面A1BDB当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ平面A1BDC在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ平面A1BDD不存在DQ与平面A1BD垂直【解析】选D.以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，(1，0，1)，(1，2，0)，.设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则取z2，则x2，y1，所以平面A1BD的一个法向量为n(2，1，2).假设DQ平面A1BD，且(1，2，0)(，2，0)，则，因为也是平面A1BD
5、的法向量，所以n(2，1，2)与共线，于是有成立，但此方程关于无解故不存在DQ与平面A1BD垂直2.如图所示，已知PA平面ABCD，AB-CD为矩形，PAAD，M，N分别为AB，PC的中点求证：(1)MN平面PAD；(2)平面PMC平面PDC.【证明】(1)由题意得AB，AD，AP两两垂直如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PAADa，ABb，则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)，因为M，N分别为AB，PC的中点，所以M，N.所以，(0，0，a)，(0，a，0)，所以，所以，
6、共面，又因为MN平面PAD，所以MN平面PAD.(2)由(1)可知(b，a，a)，(0，a，a).设平面PMC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以所以令z1b，则n1(2a，b，b).设平面PDC的法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以令z21，则n2(0，1，1).因为n1n20bb0，所以n1n2.所以平面PMC平面PDC.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直(3)线面平行证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向
7、量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示(4)线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题题组训练三 空间向量与空间角1已知在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()A B C D【解析】选B.作AO平面BCD于点O，则O是BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设AB2，则O(0，0
8、，0)，A，C，E(0，)，所以，所以cos ，.所以CE与平面BCD的夹角的正弦值为.2如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为_【解析】如图所示，过点C作CO平面ABDE，垂足为O，取AB的中点F，连接CF，OF，OA，OB，则CFO为二面角CABD的平面角，所以cos CFO.设AB1，则CF，OF，OC，所以O为正方形ABDE的中心如图建立空间直角坐标系，则E，A，M，N，所以，所以cos ，.答案：3在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱BC上的点(不包括端点)，记直线B1D与直线AC所成
9、的角为1，直线B1D与平面A1B1C1所成的角为2，二面角C1A1B1D的平面角为3，则1，2，3的大小关系是_【解析】设三棱柱ABCA1B1C1是棱长为2的正三棱柱，D是棱BC的中点，以A为原点，在平面ABC中，过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1，B1，C，D，A，因为直线B1D与直线AC所成的角为1，所以cos 1，因为直线B1D与平面A1B1C1所成的角为2，平面A1B1C1的法向量n，所以sin 2，所以cos 2，设平面A1B1D的法向量m，则取a，得m，因为二面角C1A1B1D的平面角为3，所以cos 3，因为cos 2cos 3cos
10、1，所以231.答案：231用向量法求空间角应注意的问题(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos n，a，易知n，a或者n，a(3)二面角：如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角与法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角题组训练四 空间向量与距离1已知直线l过定点A(2，3，1)，且n(0，1，1)为直线l的一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为(
11、)A B C D【解析】选A.(2，0，1)，|，则点P到直线l的距离为.2在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC3，CC12，则平面A1BC1与平面ACD1的距离是_【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A(3，0，0)，A1(3，0，2)，B(3，4，0)，C1(0，4，2)，所以(3，4，0)，(0，4，2).设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则得令z2，得n.又(0，0，2)，所以点A到平面A1BC1的距离d.易知平面A1BC1平面ACD1，所以两平面之间的距离为.答案：向量法求距离的一般步骤建立恰当的空间直角坐标系；写出(求出)相关点的坐标；求出相关向量的坐标；代入对应的距离公式计算所有的距离最后都可以归结为空间两点的距离和点到面的距离.关闭Word文档返回原板块