1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。1.2空间向量基本定理必备知识自主学习1.空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量【思考？】零向量能不能作为一个基向量？为什么？提示：不能因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面2空间向量的正交分解(1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k表示
2、(2)对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使axiyjzk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解【思考？】空间向量的正交分解式是唯一的吗？提示：基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示所以如果选用不同的正交基底，同一向量的正交分解式也会不同【基础小测】1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()(2)若a，b，c为空间一个基底，则a，b，2c也可构成空间一个基底()(3)若向量ab，则a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底()(4)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一
3、个基底，则a，b，c共面()提示：(1).只要三个向量不共面，它们就能作为空间向量的一组基底(2).a，b，c为空间一个基底，就说明a，b，c不共面，所以a，b，2c也不共面，故它们可以构成空间一个基底(3).只要a，b，c不共面，即使ab，a，b，c仍然可以构成空间的一个基底(4).作为空间向量的一个基底的条件是不共面，所以非零向量a，b，c既然不能构成空间的基底，那么a，b，c必定是共面的2在长方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是()A， B，C， D，【解析】选C.在长方体ABCDA1B1C1D1中，只有C中的三个向量，不共面，可以作为空间向量的一个基底3(教材二
4、次开发：例题改编)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中M是上底面对角线AC与BD的交点，若a，b，c，则可表示为()Aabc BabcCabc Dabc【解析】选D.由于()abc.关键能力合作学习类型一空间向量基底的条件(数学抽象)1.已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A BC D或2设xab，ybc，zca且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc其中可以作为空间一个基底的向量组有()A1个 B2个 C3个 D4个3已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3
5、e1e22e3，e1e2e3，则，_(填“能”或“不能”)作为空间的一个基底【解析】1.选C.因为ab且a，b不共线，所以a，b，共面，所以与a，b不能构成一个空间基底2选C.如图所示，令a，b，c，则x，y，z，abc由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，abc也不共面3设xy，则e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)，即e12e2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3，所以此方程组无解即不存在实数x，y使得xy，所以，不共面所以，能作为空间的一个基底答案：能空间向量构成基底的基本思路与判断方法1.基本思路：判断三个空间向
6、量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底2判断方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；假设ab c，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底【补偿训练】若向量，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，成为空间一个基底的关系是(O为空间中不同于M，A，B，C的一点)()ABCD2【解析】选C.对于选项A，由结论xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面，即，共面；对于B，D选项，易知，共面，故只有选项C中，不共面 类型二用基底表示向量(直观想象)
7、【典例】如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2) ；(3)【思路导引】先利用分拆向量表示，再替换为指定向量【解析】(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb.(2)因为N是BC的中点，所以abababc.(3)因为M是AA1的中点，所以aabc.又ca，所以abc.用基底表示向量的方法用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行求解如果要表示的向量与已知向量起点相同，一般用加法，否则用减法如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止通常情况下
8、尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，a，b，c，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上且CQQA41，用a，b，c表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1)因为P是CA的中点，所以()()(abc).(2)因为M是CD的中点，所以()(2)(a2bc).(3)因为N是CD的中点，所以()()()(22)abc.(4)因为CQQA41，所以()abc.类型三几何体中的平行、垂直与夹角(数学运算、逻辑推理)【角度1】证明平行【典例】在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12，点
9、M在棱BB1上，且BM2MB1，点S在DD1上，且SD12SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点求证：MNRS.【思路导引】先证向量与共线，再说明不在同一直线上【证明】设a，b，c，则cab，bac.所以，所以.又RS与MN不是同一直线，所以MNRS.【角度2】证明垂直【典例】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G平面DEF.【思路导引】用数量积证明A1G与平面DEF内的两条相交直线垂直【证明】设正方体的棱长为a，因为()()a2a20，所以A1GDF，同理可证A1GDE.又DFDED，所以A1G平面DEF.【角度3】求夹角【典例】
10、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12.求cos ，的值【思路导引】按照夹角公式，需计算向量与的模长和数量积【解析】由已知得|1，|2，90，所以0.因为，1，所以22()22221222126，|，22()22212225，()()2222123，所以cos ，.1证明平行的方法证明直线的方向向量共线，并说明不在同一条直线上，即可说明线线平行2证明垂直的方法由数量积的性质abab0(a，b0)可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可3求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，
11、但要注意向量夹角的范围；(2)先求ab，再利用公式cos a，b，求cos a，b，最后确定a，b1如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是_【解析】不妨设棱长为2，则，|2，|，所以cos ，0，所以，90.答案：902如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点求证：A1O平面GBD.【证明】设a，b，c，则ab0，ac0，bc0.而()c(ab)，ba，()(ab)c，所以(ba)c(ba)(ab)(ba)cbca(b2a2)(|b|2|a|2)0.所以，所以A1OBD.同理可证，
12、所以A1OOG.又OGBDO且A1O平面BDG，所以A1O平面GBD.课堂检测素养达标1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】选B.当三个非零向量a，b，c共面时不能作为基底，正推不成立；反过来，若a，b，c是一个基底，必有a，b，c都是非零向量，逆推成立，故选项B符合题意2在正方体ABCDABCD中，O1，O2，O3分别是AC，AB，AD的中点，以1，2，3为基底，x1y2z3，则x，y，z的值是()Axyz1 BxyzCxyz Dxyz2【解析】选A.()()()，由空间向量的基本定理得xyz1.3(教材二次开发：练习改编)已知a，b，c是空间的一个基底，下列向量可以与p2ab，qab构成空间的另一个基底的是_(填序号).2a，b，c，ac.【解析】向量p与q都是用a和b表示的，所以只含a和b的向量式必定与p，q共面，要构成空间的另一个基底，必须含有向量c.答案：4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，用，作为基向量，则_【解析】 2222()()()，所以().答案：()5在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则_【解析】设AC的中点为F，则()(2)().答案：关闭Word文档返回原板块
