1、章末整合提升专题一直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系有三种：相离，相交和相切.判定直线l：AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的方法：(1)几何法：圆心到直线 l 的距离为 d，则直线与圆相离：dr；直线与圆相切：dr；直线与圆相交：dr.反之，可根据直线与圆的位置关系得到直线或圆的方程及相关性质.(2)代数法：由AxByC0，(xa)2(yb)2r2，消去 y(或消去 x)，可得形如 x2pxq0 的方程.设 p24q，则直线与圆相离：0，直线与圆相切：0，直线与圆相交：0.(2)定点 P(x0，y0)在圆外：需采用求轨迹方程的方法求切线方程，注意不要遗漏斜率不存
2、在的切线方程.2.求过定点 P(x0，y0)的圆的切线方程.(1)点 P(x0，y0)在圆上：圆 x2y2r2 的切线方程为 x0 xy0yr2，圆 x2y2DxEyF0 的切线方程为 x0 xy0yDxx02Ey0y2F0.【例 1】若直线 yxb 与曲线 y3 4xx2有公共点，则 b 的取值范围是()A.12 2，12 2 B.1 2，3C.1,12 2 D.12 2，3思维突破：直线与圆有公共点可以是相切或相交，通过数形结合可求出直线的截距的取值范围.答案：D曲线方程可化简为(x2)2(y3)24(1y3)，即表示圆心为(2,3)，半径为 2 的半圆.当直线 yxb 与此半圆相切时须满
3、足圆心(2,3)到直线 yxb 距离等于 2，解得 b12 2或b12 2.因为是下半圆，故舍去 b12 2，当直线过(0,3)时，解得 b3，故 12 2b3.【例 2】已知圆 C 的圆心是直线 xy10 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 xy30 相切，则圆 C 的方程为_.思维突破：令 y0，得 x1，直线 xy10 与 x 轴的交点为(1,0).直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即 r|103|2 2.圆C的方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y22【互动与探究】)A线方程的是(A.x0C.xyB.y0D.xy1.在下列直线方程中，是圆 x2y22x2 3y30 的切2.已
4、知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：解析：由题意，设所求的直线方程为 xym0，设圆心1，又因为圆心在 x 轴的正半轴上，所以 a3，故圆心坐标为(3,0)，又圆心(3,0)在所求直线上，所以有 30m0，即m3，故所求直线方程为 xy30.直的直线的方程为_.xy30yx1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2，则过圆心且与直线 l 垂坐标为(a,0)，则由题意知：|a1|222(a1)2，解得 a3 或专题二 弦长问题 计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及圆半径构成直角三角形计算.(2)运用韦达定理及弦长公式|AB|1k
5、2xAxB24xAxB.【例3】已知圆C：x2y2x6ym0和直线x2y30 相交于 P，Q 两点，若 OPOQ，求 m 的值.解：方法一：圆的圆心为 C12，3，设直线与圆的交点为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程，得x2y2x6ym0，x2y30，消去 y，得 5x210 x4m270，则 x1，x2 是方程的两个根，故x1x22，x1x24m275，OPOQ，故 kOPkOQ1，即y1x1y2x21，x1x2y1y20.又点 P，Q 在直线 x2y30 上，y1y214(3x1)(3x2)14x1x293x1x2.解得 m3.方法二：由直线 x2y30，可得 3x2y，代入圆
6、的方程 x2y2x6ym0，有 x2y213(x2y)(x6y)m9(x2y)20，整理，得(12m)x24(m3)xy(4m27)y20，故可得(4m27)yx24(m3)yx(12m)0，kOP，kOQ 是上述方程的两根，故 kOPkOQ1，得 12m4m271，解得 m3.求解本题时，应避免去求 P，Q 两点的坐标的具体数值.除此之外，还应对求出的 m 值进行必要的检验，因为在求解过程中并没有确保有交点存在，这一点很容易被忽略.【互动与探究】A3.直线 ykx3 与圆(x3)2(y2)24 相交于 M，N 两点，若|MN|2 3，则 k 的取值范围是()A.34，0B.，34 0，)C.
7、33，33D.23，0专题三与圆有关的轨迹问题【例 4】已知动点 M 到点 A(2,0)的距离是它到点 B(8，0)的距离的一半，求：(1)动点 M 的轨迹方程；(2)若点 N 为线段 AM 的中点，试求点 N 的轨迹.解：(1)设动点 M(x，y)为轨迹上的任意一点，则点 M 的轨由两点距离公式，平方后再整理，得 x2y216.可以验证，这就是动点 M 的轨迹方程.迹就是集合 PM|MA|12|MB|.点 M 适合的条件可表示为x22y212 x82y2，(2)设动点 N 的坐标为(x，y)，M 的坐标为(x1，y1).由于 A(2,0)，且 N 为线段 AM 的中点，由(1)知，M 是圆
8、x2y216 上的点，将代入整理，得(x1)2y24.所以 N 的轨迹是以(1,0)为圆心，以 2 为半径的圆.所以 x2x12，y0y12.所以有 x12x2，y12y.所以 M 坐标(x1，y1)满足：x21y2116，【互动与探究】4.已知圆C：(x1)2(y2)225及直线l：(2m1)x(m1)y7m4(mR).(1)证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 恒相交；(2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l的方程.(1)证明：直线方程 l：(2m1)x(m1)y7m4，可以改写为 m(2xy7)xy40，所以直线必经过直线 2xy70 和 xy40 的交
9、点.由方程组2xy70，xy40，解得x3，y1.即两直线的交点为 A(3,1).又因为点 A(3,1)与圆心 C(1,2)的距离 d 50，采用方案二更好.【互动与探究】5.街头有一片绿地，绿地如图 4-2(单位：m)，其中 ABC 为圆弧，求此绿地面积(精确到 0.1 m2).图 4-2图 D44 解：如图D44，建立平面直角坐标系，各点坐标分别为A(0,7)，B(3,8)，C(7,6)，所以过A，B，C三点的圆弧方程求得为(x3)2(y3)225(0 x7，y0).|AC|7026725 2，AEC90.故所求的面积为 S 梯形 AODCS 弓形 ABCS 梯形 AODC(S 扇形 AECSACE)76721452125233254 52.6(m2)，所以绿地面积约为 52.6 m2.