1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修1-1 1-2 第三章 导数及其应用成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 导数及其应用 第三章 第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 章末归纳总结 第三章 第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 知 识 结 构 1学 后 反 思 2随 堂 练 习 4专 题 研 究 3第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 知 识 结 构第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学
2、习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 学 后 反 思第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具1导数的应用主要有以下几个方面：(1)利用导数研究函数的单调性，求单调区间；(2)利用导数求函数的极值和最值；(3)利用导数研究函数、方程、不等式和曲线切线问题；(4)利用导数研究实际问题第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 利用导数刻画函数的方法比初等方法
3、精确细微；利用导数可用于研究平面曲线的切线；在实际问题中，主要是利用导数求实际问题的最大(小)值，将实际问题数学化后，常见的情形是，该数学问题用初等方法求解往往技巧性要求较高，而用导数方法则显得简便另外，导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型高考中常用这种题目考查学生的综合能力1应熟练掌握导数的四则运算法则2熟练掌握导数在常见问题中的一般方法，这是正确解题的关键第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 专 题 研 究第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 一、知识性专题专题一 用导数方法研究
4、三次函数 yax3bx2cxd 的极值和最值专题解读 设 f(x)ax3bx2cxd(a0)，则 f(x)3a22bxc 是二次函数，可能有三种情形：(1)函数 f(x)没有零点，f(x)在(，)上不变号若a0，f(x)恒正，f(x)在(，)上递增，无极值若 a0，f(x)在(，)和(，)上恒正，f(x)在(，)上递增，f(x)无极值若a0，f(x)在(，)和(，)上恒负，f(x)在(，)上递减，f(x)无极值(3)函数f(x)有两个零点x1u和x2v，设u0，f(x)在(，u)和(v，)上为正，在(u，v)上为负；故f(x)在(，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，)上递增可见，f(x)
5、在xu处取极大值，在xu处取极小值，若a0，f(x)在(，u)和(v，)上为负，在(u，v)上为正；故f(x)在(，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，)上递减可见f(x)在xu处取极小值，在xv处取极大值第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 已知函数 f(x)x312x2bxc.(1)若 f(x)的图象有与 x 轴平行的切线，求 b 的取值范围；(2)若 f(x)在 x1 时取得极值，且 x1,2时，f(x)0，当 x(23，1)时，f(x)0.当 x23时，f(x)在(1,2)内有极大值，为2227c.第三章 章末归纳总结成才之路 高中
6、新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 又 f(1)12c，f(2)2c，当 x1,2时，f(x)的最大值为 f(2)2c.当 x1,2时，f(x)2c，解得 c2，故 c 的取值范围是(，1)或(2，)第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 方法总结 恒成立问题是高考经常考查的内容之一，解决这类问题的方法是：转化为函数的最值问题本例中的第(2)问，要使 c2f(x)恒成立，只要 c2 比 f(x)的最大值大即可，求出f(x)的最大值，问题便可得到解决在确定 c 的取值范围时，要注意等号是否能够取到第三章 章末归纳总结成才之路 高中
7、新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 已知 f(x)ax3bx2cxd 是定义在 R 上的函数，其图象交 x 轴于 A、B、C 三点，若点 B 的坐标为(2,0)，且f(x)在1,0和4,5上有相同的单调性，在0,2和4,5上有相反的单调性(1)求 c 的值；(2)在函数 f(x)的图象上是否存在一点 M(x0，y0)，使得 f(x)在点 M 处的切线斜率为 3b？若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 解析(1)由题意可知 f(x)在1,0和0,2上有相反的单调性，x0 是 f(x
8、)的一个极值点，故 f(0)0，即 3ax22bxc0 有一个解为 x0，c0.(2)f(x)交 x 轴于点 B(2,0)，8a4bd0，即 d4(b2a)令 f(x)0，则 3ax22bx0，第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 解得 x10，x22b3a，f(x)在0,2和4,5上有相反的单调性，22b3a4，6ba3.假设存在点 M(x0，y0)，使得 f(x)在点 M 处的斜线斜率为 3b.则 f(x0)3b，即 3ax202bx03b0.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2(2b)24
9、3a(3b)4b236ab4ab(ba9)，又6ba3，0 且 f(x)在区间(0,1上单调递增，试用 a 表示出 b的取值范围第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 解题提示 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查导数在研究函数性质中的应用，考查分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，考查分类与整合的数学思想第(1)小题，求三次函数取得极值的条件就是三次函数的导数 f(x)0 的根的判别式大于 0；第(2)小题，函数在(0,1上单调递增，可以把问题归结为函数的导函数在这个区间上大于或等于 0 恒成立，可以根据具体情境决定解题方案，本小题可以通过
10、分离参数的方法解决第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 解析(1)由题意知 f(x)ax22bx1，当(2b)24a0 时，f(x)无极值，当(2b)24a0，即 b2a时，f(x)ax22bx10 有两个不同的解，即 x1b b2aa，x2b b2aa，因此 f(x)a(xx1)(xx2)第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 当 a0 时，f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值 极小值 由此表可知 f(x)在点 x1，
11、x2 处分别取得极大值和极小值第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 当 a1，即 0a0，g(x)最大值g(1)a212a12，所以 ba12.综上所述，当 a1 时，b a；当 0a1 时，ba12.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 设函数 f(x)x33axb(a0)(1)若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，求 a、b的值(1)求函数 f(x)的单调区间与极值点解题提示 本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究曲线的切线、极值、单调区间的基本方法，考查综合应用数学
12、知识解决问题的能力第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 解析(1)f(x)3x23a.因为曲线 yf(x)在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，所以f20，f28，即34a0，86ab8，解得a4，b24.故 a4，b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)当 a0，函数 f(x)在(，)上单调递增，此时函数 f(x)没有极值点，f(x)的单调递增区间为(，)第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 当 a0 时，由 f(x)0 得 x a.当 x(，a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当
13、 x(a，a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增此时 f(x)的单调递增区间为(，a)，(a，)，单调递减区间为(a，a)，x a是 f(x)的极大值点，x a是f(x)的极小值点第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 二、规律方法专题专题二 本章应注意的问题及数学方法的应用专题解读(1)导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的，它为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般的方法如求曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的最值、不等式的证明及有关的实际问题(2)通过导数的学习，要了解研究变量时“由直到曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限
14、”的极限思想方法及数形结合的思想方法第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2(3)对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和x0 的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形，导数的几何意义应切实掌握(4)函数求导常用的方法及注意的问题对于复杂函数求导，应先分解函数，使之成为初等函数，然后应用公式、函数的四则运算求导法则求导对于较复杂的函数，在求导首应先对解析式进行化简，然后求导第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 对于抽象函数问题，常利用导数的定义来解题，用定义求导的一般步
15、骤为：第一步，求函数的增量 yf(xx)f(x)；第二步，求平均变化率yxfxxfxx；第三步，取极限，得f(x)limx0yx.(5)求函数 f(x)的单调递增(或减)区间，只需解不等式f(x)0(或 f(x)f(x)(或 m1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若当 x0 时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围解题提示 本题以三次函数为载体，考查导数的运算法则、函数的单调性、函数最值、不等式恒成立等知识点第(2)小题的突破口是：当 x0 时，f(x)0 恒成立f(x)min0，从而转化为求 yf(x)(x0)时的最小值第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学
16、 选修1-1 1-2 解析(1)f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)由 a1 知 2a2，当 x0，故 f(x)在区间(，2)上是增函数；当 2x2a 时，f(x)2a 时，f(x)0，故 f(x)在区间(2a，)上是增函数综上，当 a1 时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2(2)由(1)知，当 x0 时，f(x)在 x2a 或 x0 处取得最小值f(2a)13(2a)3(1a)(2a)24a2a24a43a34a224a，f(0)24a.由题设知a1，f2
17、a0，f00，即a1，43aa3a60，24a0.解得 1a0)(1)如果 a1，点 P 为曲线 yf(x)上一动点，求以 P 为切点的切线斜率最小时的切线方程；(2)若 xa,3a时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围解析(1)f(x)x22x3，切线斜率 k(x1)24.xR，kmin4，此时 x1.又 a1，f(1)203.故此时切线方程为 y203 4(x1)，即 12x3y80.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2(2)由 f(x)x22x30，知 x3 或 x1，f(x)在(，1，3，)上递增，在(1,3)上递减又 xa,3a，
18、且 a0，则：当 3a3，即 0a1 时，f(x)minf(3a)，则 3a23a40，a3 576或 a3 576，与 0a1 矛盾当33a，a3，即 1a3 时，第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 f(x)在a,3上递减，在3,3a上递增f(x)minf(3)，即 3a0，与 1a0)解析 函数的定义域为 R，其导函数 f(x)3x23a.由 f(x)0 可得 x a，列表讨论如下：x(，a)a(a，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值 极小值 第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 由
19、此可得，函数在 x a处取得极大值为 22a32；在 x a处取得极小值为 22a32.根据列表讨论，可作函数的草图(如图所示)因为极大值 f(a)22a320，第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 所以当极小值 f(a)22a321 时，方程 x33ax20 有三个不同的实根，当极小值 f(a)22a320，即当 0a0.设 x0(0，)，ykxm 是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程，并设函数 g(x)kxm.(1)用 x0，f(x0)，f(x0)表示 m；(1)求证当 x(0，)时，g(x)f(x)解析(1)由题意知 kf
20、(x0)且点(x0，f(x0)在切线 ykxm 上，所以 f(x0)x0f(x0)m，即 mf(X0)x0f(x0)第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2(2)令 h(x)g(x)f(x)，则 h(x)f(x0)f(x)，h(x0)f(x0)f(x0)0.因为 f(x)递减，所以 h(x)递增因此，当 xx0 时，h(x)h(x0)0；当 xx0 时，h(x)31x(x1)解析 令 f(x)2 x31x.由 f(x)1x1x2，因为 x1 时，x2 x0，所以 1x1x2，所以 f(x)1x1x20，所以 f(x)在(1，)上为增函数，所以当 x
21、1 时，f(x)f(1)2310，所以当 x1 时，2 x31x.方法总结 本题的解题关键是通过构造函数，利用函数的单调性证明不等式第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 随 堂 练 习第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 一、选择题1.函数 f(x)在其定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数 yf(x)的图象为下图所示的()第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 答案 D解析 由f(x)的图象的单调性可知，f(x)的值应是先正再负，然后又
22、正第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 2若函数 f(x)ax3x2x5 在(，)上单调递增，则 a 的取值范围是()Aa13 Ba13Ca0，412a0，解得 a13.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 3已知函数f(x)x44x310 x227，则方程f(x)0的根在2,10上()A有3个B有2个C有且只有1个D有0个答案 C解析 f(x)4x312x220 x4x(x23x5)4x(x32)2114，所以 f(x)在2,10上恒大于 0，即 f(x)在2,10上单调递增又 f(2)30，
23、所以 f(x)0 在2,10上有且只有一个根第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 4设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0.则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3,0)(3，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，)D(，3)(0,3)答案 D解析 令h(x)f(x)g(x)，则h(x)为R上的奇函数且x0时，h(x)也为增函数，h(3)h(3)0，所以h(x)0的解为x3或0 x3，故选D.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 5若limx0fx0fx
24、03x2x1，则 f(x0)等于()A.32B.23C32D23答案 D 解 析 f(x0)limx0fx0fx03x3x 23 limx0fxfx03x2x23，故选 D.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 6设曲线 yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则 x1x2xn 等于()A.1nB.1n1C.nn1D1答案 B解析 y|x1n1，所求切线方程为：y(n1)xn，xn nn1，x1x2xn 1n1.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 二、填空题7
25、函数f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值为_答案 37第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 8曲线 yx3 在点(a，a3)(a0)处的切线与 x 轴、直线 xa 围成的三角形的面积为16，则 a_.答案 1解析 先求切线方程，再求三角形面积切线斜率 k(x3)|xa3a2，则切线方程为 y3a2(xa)a3，令 y0，得 x2a3，又切线与直线 xa 的交点的纵坐标是 a3，故 S 三角形12|a3|23aa|a46 16，得 a1.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版
26、数学 选修1-1 1-2 三、解答题9设函数f(x)xax2blnx，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a、b的值；(2)求证：f(x)2x2.解析(1)f(x)12abx由已知条件得f10，f12，即1a0，12ab2.解得 a1，b3.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2(2)f(x)的定义域为(0，)，由(1)知 f(x)xx23lnx.设 g(x)f(x)(2x2)2xx23lnx，则 g(x)12x3xx12x3x.当 0 x0.当 x1 时，g(x)0 时，g(x)0，即 f(x)2x2.第三章 章末归
27、纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 10已知函数 f(x)x22xax，x1，)(1)当 a12时，求函数 f(x)的最小值；(2)若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围解析(1)当 a12时，f(x)x22xaxx 12x2，x1，)f(x)1 12x22x212x2，当 x1，)时，f(x)0，所以函数 f(x)在1，)上是增函数，所以当 x1 时，f(x)取得最小值，最小值为12112172.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2(2)对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，即x
28、22xax0 对任意 x1，)恒成立，所以 x22xa0 对任意 x1，)恒成立，所以 a(x22x)对任意 x1，)恒成立，又因为(x22x)(x1)21 在1，)上的最大值为3，所以 a3，因此对任意 x1，)，f(x)0 恒成立时，实数 a 的取值范围是a3.第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 11烟囱向其周围地区散落烟尘会造成环境污染已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比现有A，B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点C，使该点的烟尘浓度最低第三章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 解析 为研究方便，不妨设 A 烟囱喷出的烟尘量为 1，则B 烟囱喷出的烟尘量为 8.设|AC|x，则 0 x0)，y2kx316k20 x32k3x203x2400 x320 x3.令 y0，得 x203，当 x(0，203)时，y0，故函数在 x203处取得极小值，且是最小值，故当点 C 位于 AB 连线且距离 A处203 km 时，该点的烟尘浓度最低