1、2.3幂函数课时过关能力提升基础巩固1.下列函数为幂函数的是()y=-x2;y=2x;y=x;y=(x-1)3;y=1x2;y=x2+1x.A.B.C.D.解析:y=-x2的系数是-1,而不是1,故不是幂函数;y=2x是指数函数;y=(x-1)3的底数是x-1,而不是x,故不是幂函数;y=x2+1x是两个幂函数和的形式,也不是幂函数.很明显是幂函数.答案:C2.已知m=(a2+3)-1(a0),n=3-1,则()A.mnB.m30,f(x)在(0,+)上是减函数,则f(a2+3)f(3),即(a2+3)-13-1,故m1时,xx13,故幂函数y=x13图象在直线y=x的下方,排除C.答案:B6
2、.已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)x2-m(m0),则m=.解析:由于函数f(x)是幂函数,则m2-2m-2=1,解得m=3或-1.又m0,则m=3.答案:37.若(a+1)3(3a-2)3,则实数a的取值范围是.解析:构造函数y=x3,它在R上是增函数,所以a+132.答案:32,+8.已知幂函数f(x)=x-m2+2m+3(mZ)为偶函数,且在区间(0,+)内是增函数,则函数f(x)的解析式为.解析:因为幂函数f(x)=x-m2+2m+3(mZ)为偶函数,所以-m2+2m+3为偶数.又f(x)在区间(0,+)内是增函数,所以-m2+2m+30,所以-1m0,lgx0x0,x10x1,
3、所以f(x)的定义域为(0,1)(1,+).答案:D2.下列函数中,对于任意的x(xR),都有f(-x)=f(x),且在区间(0,1)内单调递增的是()A.f(x)=-x2+2B.f(x)=x12C.f(x)=x2-1D.f(x)=x3解析:对于任意的x(xR),都有f(-x)=f(x),则函数f(x)是偶函数.很明显,f(x)=x12和f(x)=x3都不是偶函数,故排除选项B,D;结合函数图象,可知f(x)=-x2+2在(0,1)内单调递减,函数f(x)=x2-1在区间(0,1)内单调递增,故选C.答案:C3.已知函数:y=2x;y=log2x;y=x-1;y=x12.则下列函数图象(在第一
4、象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是()A.B.C.D.解析:y=2x的图象过点(0,1),y=log2x的图象过点(1,0),y=x12的图象过点(0,0),y=x-1的图象和坐标轴不相交.故选D.答案:D4.为了保证信息的安全传输,有一种为秘密加密的密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x(为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是.解析:由题目可知加密密钥y=x(是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出的值.由题意得2=4,解得=12
5、,则y=x12.由x12=3,得x=9.答案:95.设a=1234,b=1534,c=1212,则a,b,c的大小关系为_.解析:构造幂函数y=x34(xR),由该函数在定义域内单调递增,知ab;构造指数函数y=12x,由该函数在定义域内单调递减,所以aab.答案:cab6.若y=xa2-4a-9是偶函数,且在区间(0,+)内是减函数,则整数a的值是_.解析:由题意得,a2-4a-9应为负偶数,即a2-4a-9=(a-2)2-13=-2k(kN*),(a-2)2=13-2k,当k=2时,a=5或-1;当k=6时,a=3或1.答案:1,3,5,-17.已知函数y=(a2-3a+2)xa2-5a+
6、5(a为常数),问(1)当a为何值时,此函数为幂函数?(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?分析:根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定义求解.解:(1)由题意得a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,故a=352.(2)由题意知a2-5a+5=1,a2-3a+20,解得a=4.(3)由题意知a2-5a+5=-1,a2-3a+20,解得a=3.8.已知函数f(x)=x13-x-135,g(x)=x13+x-135.(1)计算f(4)-5f(2)g(2);(2)计算f(9)-5f(3)g(3);(3)计算f(16)-5f(4)g(4);(4)由(1)(
7、2)(3)归纳出涉及函数f(x)和g(x)的对于所有不等于0的实数x都成立的一个等式,并加以证明.解:(1)f(4)-5f(2)g(2)=413-4-135-5213-2-135213+2-135=413-4-135-(213)2-(2-13)25=0.(2)f(9)-5f(3)g(3)=913-9-135-5313-3-135313+3-135=913-9-135-(313)2-(3-13)25=0.(3)f(16)-5f(4)g(4)=1613-16-135-5413-4-135413+4-135=1613-16-135-(413)2-(4-13)25=0.(4)由于4=22,9=33,16=44,因此概括、猜想:对任意x0,均有f(x2)=5f(x)g(x).证明:5f(x)g(x)=5x13-x-135x13+x-135=(x2)13-(x2)-135=f(x2),对任意x0,均有f(x2)=5f(x)g(x).