1、江苏省马坝高级中学2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学试题（理科）（卷）一、填空题1.集合，则_【答案】【解析】【分析】根据集合的交集运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，根据集合的交集运算，可得.故答案为.【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的交集运算，其中解答中熟记集合的表示方法，以及集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.设复数（为虚数单位），则复数的虚部为_.【答案】【解析】【分析】根据复数的概念，即可求得复数的虚部，得到答案.【详解】根据复数的概念，可得复数（为虚数单位）的虚部为.故答案为.【点睛】本题主要考查了复数的
2、基本概念，其中解答中熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.3.已知一组数据，则该组数据的方差是_【答案】【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，该组数据的方差为：s2=（4.85.2）2+（4.95.2）2+（5.25.2）2+（5.55.2）2+（5.65.2）2=0.1故答案为0.14.已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3，4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为_【答案】【解析】【分析】先求出
3、基本事件的总数，再计算随机事件中基本事件的个数，利用公式可计算概率.【详解】设为“取出的两个小球编号相同”，从两个袋中各取出1球，共有种取法，取出的两个小球编号相同，共有种取法，故.【点睛】古典概型的概率计算，应该用枚举法列出所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件，也可用排列组合的方法来计数.5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为_.【答案】【解析】【分析】执行如图所示的程序框图，逐次计算，根据判断条件，即可求解，得到答案.【详解】执行如图所示的程序框图，可得：，第1次循环，满足判断条件，；第2次循环，满足判断条件，；第3次循环，满足判断条件，；第4次循环，满足判断条件，；第5次循环，满
4、足判断条件，；不满足判断条件，此时输出.故答案为.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知实数满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】画出约束条件所表示平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可得直线，平移直线过点时，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.故答案为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中
5、正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题7.已知函数（其中为自然对数的底数）为偶函数，则实数的值为_【答案】1【解析】【分析】利用恒成立可得实数的值【详解】因为为偶函数，所以恒成立即，整理得到恒成立，故，填.【点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用（或）恒成立来求参数的大小.8.设集合Ax|x（x1）0，Bx|0x3，那么“mA”是“mB”的_条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）【答案】充分不
6、必要【解析】【分析】首先解出集合，然后判断两个集合的包含关系，根据集合的包含关系与充分必要条件的判断模式得到结论.【详解】解：由于Ax|0x1，则AB，由mB不能推出mA，如x2时，故必要性不成立反之，根据AB，“mA”“mB”所以“mA”是“mB”的充分不必要条件故答案为充分不必要【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，将充分必要条件的判断转化为集合的包含关系，属于基础题型.9.已知，则的值为 【答案】3【解析】【详解】，故答案为3.10.已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为，则的值为_【答案】【解析】【分析】设圆柱的底面圆的半径为，则高为，则圆锥母线的
7、长为，分别计算圆柱和圆锥的侧面积可得它们的比值.【详解】设圆柱的底面圆的半径为，则高为，则圆锥母线长为，所以，所以，填.【点睛】本题考查圆柱、圆锥侧面积的计算，属于基础题.11.已知函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】分析】将问题转变为与的图象且只有一个交点，画出的图象，通过平移直线找到符合题意的情况，从而确定参数范围.【详解】由得：函数有且只有一个零点等价于：与的图象且只有一个交点画出函数的图象如下图：的图象经过点时有个交点，平移，由图可知，直线与轴的交点在点的上方时，两图象只有个交点，在点下方时，两图象有个交点，即本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数零点个
8、数求解参数范围，涉及到指数函数、对数函数图象的应用，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式，结合直线的平移得到结果.12.在等腰中，则面积的最大值为_【答案】4【解析】【分析】由题意建立坐标系，结合向量模的坐标运算及基本不等式求解即可【详解】以为轴，以的垂直平分线为轴，设 ， ， ， ， ， ， ， ，当且仅当时，即 ， ，面积的最大值为4，故答案为4【点睛】本题考查了用解析的方法解决平面几何问题，考查了向量的坐标运算，模的计算，考查了基本不等式的应用，属于中档题13.已知函数，若直线，是函数图象的两条平行的切线，则直线，之间的距离的最大值是_【答案】2【解析】【分
9、析】先对函数求导，设两切点，利用两切线平行找到两切点坐标间的关系，然后写出两切线方程，计算出两切线间距离再求最值.【详解】解：因为，记l1，l2的切点分别为、，且所以所以因为l1：，化简得同理l2：即所以因为所以，当且仅当时取等号所以距离最大值为2故答案为2.【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线方程，两平行线间距离的最值，曲线的切线斜率即为该点处的导数，求最值过程中常用到不等式或函数相关知识.14.已知函数，若，且，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】画出函数的图象，结合图象和指数函数的性质，求得，利用基本不等式，即可求解.【详解】画出函数的图象，如图所示，不妨设，由，得，所以，即，又
10、由，即，因为，所以，则，所以的取值范围是.故答案为.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟练应用指数函数的性质，求得，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.二、解答题15.在中，角，的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，角的平分线交于点，求线段的长度.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由正弦定理知，又，利用余弦定理求得，即可求得角；（2）由（1）知，再利用正弦定理，即可求解的长.试题解析：（1）由及正弦定理知，又，由余弦定理得 .，.（2）由（1）知，在中知：，又，故由正弦定理得.16.如
11、图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，.（1）求证：；（2）求证：平面【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）易证AD平面CDE，从而ADCE；（2）先证平面ABF平面CDE，可得BF平面CDE.【详解】证明：（1）因为矩形ABCD所以ADCD又因为DEAD，且CDDE=D，CD、DE平面CDE所以AD平面CDE又因CE平面CDE所以ADCE（2）因为ABCD，CD平面CDE，AB 平面CDE所以AB平面CDE又因为AFDE，DE平面CDE，AF 平面CDE所以AF平面CDE又因为ABAF=A，AB、AF平面ABF所以平面ABF平面CDE又因为BF平面ABF所以BF平面CD
12、E【点睛】本题考查了异面直线垂直的证明和线面平行的证明，异面直线垂直常先证线面垂直，线面平行证明可用其判定定理，也可先证面面平行再得线面平行.17.已知函数，其导函数的图象关于轴对称，（）求实数的值；（）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围【答案】（），（）【解析】【分析】（）根据导函数的图象关于轴对称求出m的值，再根据求出n的值；（）问题等价于方程有三个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.【详解】解：（）.函数的图象关于轴对称，.又，解得.，.（）问题等价于方程有三个不相等的实根时，求的取值范围.由（），得.令，解得.当或时，在，上分别单调递增.又当时，在
13、上单调递减.的极大值为，极小值为.实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题18.已知矩形所在的平面与地面垂直，点在地面上，设，与地面成角（），如图所示，垂直地面，垂足为，点、到的距离分别为，记（1）若，求的最大值，并求此时的值；（2）若的最大值为，求的值 【答案】（1）时；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意可得，结合三角函数的性质可得最值以及的值；（2）化简可得，根据最值求出.【详解】（1）又 ,当且仅当,即时（2） 当且仅当,即 时, 的最大值为,【点睛】本题主要
14、考查了三角函数在实际中的应用，求出表达式以及掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.19.已知奇函数f（x）a（a为常数）（1）求a的值；（2）若函数g（x）|（2x+1）f（x）|k有2个零点，求实数k的取值范围；（3）若x2，1时，不等式f（x）恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1） ；（2）k（0，1）；（3）4，+）.【解析】【分析】（1）由f（x）为R上的奇函数可得f（0）0，解方程可得a；（2）由题意可得方程|2x1|k0有2个解，即k|2x1|有2个解，即函数yk和y|2x1|的图象有2个交点，画出图象即可得到所求范围；（3）由题意可得m2x在x2，1时恒成立，由g（x）2
15、x在R上单调递减，即可得到所求范围【详解】（1）f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）a10，即a1，可得f（x）1，由f（x）+f（x）0，即f（x）为R上的奇函数，故a1；（2）函数g（x）|（2x+1）f（x）|k有2个零点方程|2x1|k0有2个解，即k|2x1|有2个解，即函数yk和y|2x1|的图象有2个交点，由图象得k（0，1）；（3）x2，1时，f（x），即1，即m2x在x2，1时恒成立，由g（x）2x在R上单调递减，x2，1时，g（x）的最大值为g（2）4，则m4，即m的取值范围是4，+）【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性、以及函数零点个数、函数恒成立问题解法，考查数形
16、结合思想和运算能力，属于中档题20.已知函数（）.（I）若，求曲线在点处的切线方程；（II）若在上无极值点，求的值；（III）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由.【答案】（1）； （2）时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【解析】【分析】（I）由导数的几何意义,切线的斜率,先求，,利用直线方程的点斜式求解. （II）因为,所以若在上无极值点,则，即，解得. (III)讨论当时,在上的符号, 函数的单调性、极值情况,从而分析函数的图像与x轴的交点个数,得出函数的零点个数.【详解】（I）当时，所以曲线在点处的切线方程为.（II），依题意有，即，解得.(III)（
17、1）时，函数在上恒增函数且，函数在上无零点.（2）时：当，函数为增函数；当，函数为减函数；当，函数为增函数.由于，此时只需判定的符号：当时，函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.综上，时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、 极值，结合函数的大致图像判断零点的个数（卷）21.已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量【答案】矩阵属于特征值的一个特征向量为，矩阵属于特征值的一个特征向量为【解析】【分析】先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组
18、，即可求得相应的特征向量.【详解】由题意，矩阵的特征多项式为，令，解得， 将代入二元一次方程组，解得，所以矩阵属于特征值的一个特征向量为；同理，矩阵属于特征值的一个特征向量为v【点睛】本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22.在极坐标系中，直线与极轴交于点，求以点为圆心且半径为的圆的极坐标方程【答案】【解析】【分析】由极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线的方程为，求得，得出圆的直角坐标方程，进而求得圆的极坐标方程，得到答案.【详解】由题意，直线，可得，即，又由，可得直线的方程为，令，可得，
19、所以以点为圆心且半径为的圆的方程为，即，所以所求圆的极坐标方程为.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的极坐标方程的求解，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P的直角坐标【答案】【解析】【详解】试题分析：根据极坐标化普通方程公式得：，化曲线的参数方程为普通方程，联立解方程组即可试题解析：因为直线的极坐标方程为，所以直线的普通方程为， 又因为曲线的参数方程为（为
20、参数），所以曲线的直角坐标方程为，联立解方程组得或根据的范围应舍去,故点的直角坐标为考点：1、极坐标；2、参数方程；3、曲线的交点24.如图，在底面为正方形的四棱锥中，侧棱底面，点是线段的中点（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若点在线段上，使得二面角的正弦值为，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：由已知条件可得两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，（2）求得的夹角可得异面直线AP与BE所成角的大小（这个角是锐角）；（2），再求出的坐标，然后求出平面和平面的法向量，则法向量夹角与二面角相等或互补，可得出的方程，解之可得值试题解析：（1）在四棱锥P
21、ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD底面ABCD，所以DA、DC、DP两两垂直，故以为正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz因为PDDC，所以DADCDP，不妨设DADCDP2，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0）因为E是PC的中点，所以E（0，1，1）所以（2，0，2），（2，1，1），所以cos，从而因此异面直线AP与BE所成角的大小为（2）由（1）可知，（0，1，1），（2，2，0），（2，2，2）设，则（2，2，2），从而（2，2，22）设 （x1，y1，z1）为平面DEF的一个法向量，则即取z1，则y1，x121所以m（21，）为平面DEF的一个法向量设n（x2，y2，z2）为平面DEB的一个法向量，则即取x21，则y21，z21所以（1，1，1）为平面BDE一个法向量因为二面角FDEB的正弦值为，所以二面角FDEB的余弦的绝对值为，即|cos|，所以，化简得，421，因为点F在线段PB上，所以01，所以，即考点：用向量法求异面直线所成的角，二面角
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