1、20172018学年度第一学期北京育才学校高二数学（理科）期中考试试卷一、选择题（每小题5分，8道题，共40分）1. 抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】抛物线的焦点在轴上，坐标为选D2. 圆与直线相切于点，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】圆的方程为，故圆心为，半径，由题意得圆心与切点间的距离半径，解得，又圆心与切点连线的斜率，直线斜率，又直线过点， 直线的方程为，即选3. 若双曲线的离心率是，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，解得，故选点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或
2、不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4. “”是“”的（ ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则或，据此可得：“”是“”的充分不必要条件本题选择B选项.5. 长方体一个顶点上三条棱的长分别是、，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设球的半径为，则由题意得，解得，所以球的表面积选点睛：对于球的外接或内切的问题，解题的关键是如何确定球心的位置。解题时要根据内接（或外切）的几何体的特征，确定
3、出球心得位置，然后根据勾股定理建立关于球半径的等式，进而求得球半径，从而达到求解的目的。其中，当球的内接几何体的长方体（或正方体）时，球的直径为长方体（或正方体）的体对角线的长。6. 一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积及体积为（ ）A. ， B. ， C. ， D. 以上都不正确【答案】A【解析】由三视图知该几何体为圆锥，且底面圆半径为3，高为。所以表面积 体积 选 7. 下列说法不正确的是（ ）A. ，B. ，C. 夹在平行平面间的平行线段相等D. 若平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行【答案】D【解析】选项A,B,C中，由面面平行的性质得正
4、确。选项中，平面外的一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线可能平形于这个平面，也可能与此平面相交故D不正确。选8. 为过椭圆中心的弦，为椭圆的右焦点，则面积的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】面积为 与面积的和，设点到轴的距离为，过椭圆中心的弦，所以点到轴的距离为，且，最大值为，的最大值为选 点睛：（1）圆锥曲线中对于求三角形面积的问题，有时可根据图形的特点将三角形的面积化为两个同底的三角形的面积的和，可使得解题变得简单。（2）解题时注意解析几何中一些结论的利用，可提高解题的效率。如在本题中，用到了椭圆上的点到长轴距离的最大值为短轴的长这一结论。二、填空题（每小题5
5、分，6道题，共30分）9. 命题“，”的否定是_【答案】，【解析】全称命题的否可得，命题的否定为“，”答案：，。10. 已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则最小值为_；此时点的坐标为_【答案】 (1). 3 (2). 【解析】如上图，过作于，则由抛物线的定义得所以，由图形得当、三点共线时，最小，又最小值为到准线的距离此时最小值为，此时点的纵坐标为，所以，即点的坐标为答案： (1). 3 (2). 点睛：（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连
6、线中的垂线段最短”解决11. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为_【答案】【解析】设双曲线方程为，则其渐近线方程为，将点坐标代入上式，得，答案：12. 如图，一个空间几何体的主视图，左视图都是面积为，且一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为_；体积为_【答案】 (1). 4 (2). 【解析】由三视图可知该几何体由两个相同的正四棱锥组成。正视图，侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，菱形的边长为，又正四棱锥的底面边长为，侧面底边长为，斜高为，侧棱长为，几何体的表面积为，体积 答案：(1). 4 (2). 13. 下列说法中正确的是_一个命题的逆命
7、题为真，则它的逆否命题一定为真；“”是“”的充要条件；“，则，全为” 的逆否命题是“若，全不为，则”一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真；“为假命题”是“为真命题”的充分不必要条件【答案】【解析】对于，由于逆命题与否命题真假性相同，但无法判断其逆否命题的真假，故错误对于，由“”可推出“”，由“”也可推出“”，故正确对于，原命题的逆否命题为“若、不全为，则”，故错误对于，由于否命题与逆命题真假性相同，故正确对于，“”为假命题，那么为真命题，可推出“为真命题”，反之不成立。故正确综上可得正确。答案：14. 下列命题正确的是_两条直线没有公共点，则这两条直线平行或互为异面直线；如果两个平面有三
8、个公共点，那么它们重合；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行；两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行【答案】【解析】对于，由空间中两条直线的位置关系可得正确对于，满足条件的两个平面可能相交也可能平行，故错误。对于，满足条件的直线和平面可能平行，也可能在平面内，故错误对于，满足条件的两直线可能相交或平行，故错误。对于，由于只能作出一个符合要求的平面，故错误。综上只有正确。答案：点睛：点、线、面的位置关系的判断方法 （2）利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理综
9、合进行推理和判断命题是否正确三、解答题（6道题，共80分）15. 已知命题，（）分别写出真、真时不等式的解集（）若是的充分不必要条件，求的取值范围【答案】（）真时，解集为；真时，解集为（）【解析】试题分析：（1）由绝对值不等式和一元二次不等式的解法可得不等式的解集。（2）结合（1）得到对应的集合，将充分不必要条件转化为两集合间的包含关系，利用不等式求解即可。试题解析：（）由，得， 当真时对应的集合为.由，得，解得或 当真时对应的集合为或.（）由题知当对应的集合为或， 是的充分不必要条件,或或 ，且等号不能同时成立。解得 实数的取值范围为。点睛：解答本题时注意充分必要条件与集合间的关系。设命题对
10、应的集合为，命题对应的集合为，则的充分条件等价于；的充分不必要条件等价于 ；的充要条件等价于。16. 正三棱柱中，是上一点，若（）若底面边长为，侧棱长为，求该正三棱柱的表面积、体积（）求证：平面【答案】（），（）见解析【解析】试题分析：（1）由等边三角形、矩形的面积公式可得柱体的表面积；由体积公式可得柱体的体积。（2）由题意可证得点D为BC的中点，连，交于点，则点O为的中点，连接，可得，从而可证得平面试题解析：（）在正三棱柱中，为等边三角形， 的边长为， ，正三棱柱的表面面积，体积（）证明： ， 点D为BC的中点。连接，交于点，则点为的中点。连接，在中，分别为，中点， ，又平面，平面， 平面1
11、7. 已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切（）求圆的标准方程（）求直线与圆相交的弦长【答案】（）（）【解析】试题分析：（1）由题意设出圆的标准方程为，根据直线与圆相切可求得，从而可求得圆的方程。（2）先求出圆心到直线的距离，根据弦长公式求解。试题解析：（）由题意设圆的方程为， 圆与直线相切， 圆心到直线的距离，解得或（舍去）， 圆的方程为（）圆心到直线距离，所以弦长为18. 四棱锥中底面是平行四边形，是中点，过的平面与交于（） 求证：平面（）求证：是中点【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由平行四边形可得，根据线面平行的判断定理可得平面。（2）由（1）得平面，
12、根据线面平行的性质定理可得，又是的中点，故得是中点试题解析：（1）证明： 四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面（）证明：由（1）可得平面，又平面, 平面, ，又是的中点， 是中点19. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为米，拱顶距离水面米（）建立如图所示的平面直角坐标系，试求拱桥所在抛物线的方程（）若一竹排上有一米宽米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？【答案】（）（）可以安全通过【解析】试题分析：（1）由题意建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，将点坐标代入方程求得即可得到抛物线方程。（2）根据（1）中的抛物线方程，当当时，得，由于，故可以安全通过。试题解析：（）由题意在平面直角坐标
13、系中，设抛物线方程为。由条件得点在抛物线上， 解得， 抛物线方程为，即（）由（1）可得抛物线的方程为当时，解得， ， 木排可安全通过此桥20. 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，且过点（）求椭圆的标准方程（）、是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，且这条直线互相垂直，求证：为定值【答案】（）（）见解析【解析】试题分析：（1）由离心率可得，故椭圆的方程为，将点的坐标代入方程可得，从而可得椭圆的方程。（2）当直线的斜率为0时，为长轴长，为通径长；当直线的斜率不为0时，设出直线的方程，运用椭圆的弦长公式可得和，然后验证即可得到结论。试题解析：（） ， ， ， 椭圆的方程为，又点在椭圆上， 解得， ， 椭圆的方程为（）由（1）得椭圆的焦点坐标为，当直线的斜率为0时，则, .当直线的斜率为0时，设其，由直线与互相垂直，可得直线，由消去y整理得，设，则， ，同理， 综上可得为定值。点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查（2）求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值