1、1.3 三个正数的算术-几何平均数 本节课有基本不等式引入三个正数的算术几何平均数，再进行定理的推导和推广，尤其定理3的几种变样形式。再通过例题巩固，巩固过程中确定定理应用的条件。定理的推导和推广略讲，几种变式详讲。在配凑使得“和”或“积”是定值时，又会忘记取等号的条件，所以以大量的例题和练习反复强调“一正、二定、三相等”，在不能取得等号的时候可以考虑函数的单调性。定理1.如果Rba,，那么abba222（当且仅当ba 时取“=”号）1指出定理适用范围：Rba,2强调取“=”的条件：ba 定理2.如果那么ba,是正数，abba2（当且仅当ba 时取“=”号）注意：1这个定理适用的范围：,a b
2、R 2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件:一正;二定;三相等.有一个条件达不到就不能取得最值.22222222(1)2(,)(2)(,)21(3)2()2(4)()(,)22(5)+()0ababa bababa bababxbaxabababaRRRbabcab+bc+ca a,b,cR（x0）1.基本不等式及其常用变式基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？3,.,3a b cRabcabcabc类比、猜想：若那么当且仅当时，等号成立。3
3、3333233332222222222223()333()333()()()3()()23()()1()()()()0,2abcabcaba babcabcabca bababcabcabab ccab abcabcaabbacbccababc abcabbccaabcabbcca +3a+b+c若a,b.cR,那么 abc,3当且仅当a=b=c时，等号成立。定理3：语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的 几何平均。推论:),(33Rcbaabccba33 abccba.,等号成立时当且仅当cba为定值时abc)1(为定值时cba)2(3)3(cbaabc.,等号成立时当且仅当cba关于“平
4、均数”的概念：1如果*12,1na aaRnnN且则：naaan21叫做这n个正数的算术平均数。nnaaa21叫做这n个正数的几何平均数。2.基本不等式：naaan21nnaaa21niRaNni 1,*语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当1a2=an时，等号成立+3已知x，y，zR，求证：（x+y+z）27例1、xyz。33xyzxyz因为证明：，所以3xyz（x+y+z），27327xyz即（x+y+z）例:2(1)当0 x 1时,求函数y=x(1-x)的最大值.解:,10 x10,x.274,32,12max yxxx时当274)3122(43 xxx)1(22
5、4)1(2xxxxxy构造三个数相加等于定值.2(2)当0 x 0)的最小值.x3322243212321232xxxxxxxxy解:3min3 4y(错解:原因是取不到等号)正解:33322236232932323232323232xxxxxxxxy.3623,23,2323min2yxxx时当且仅当2222222222222|;()()()22().abababcabbccaabcdacbdababab等1.均值定理的应用范围广泛,要关注变量的取值要求和等号能否成立,还要注意它的变式的运用,如:22.等号成立的条件不能满足时,可以再从单调性a的角度考虑,力图转化为y=x+(a 0)的形式.x3.利用极值求最大(小)值时,(1)x,y(0,+),且xy=P(定值),那么当x=y时,x+y有最小值2 P;(2)x,y(0,+),且x+y=S(定值),S那么当x=y时,xy有最大值.4谢 谢 聆 听 THANK YOU FOR YOUR
