1、第5讲 两角和与差及二倍角的 三角函数公式 考纲要求考点分布考情风向标1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系2011年新课标卷第7题考查同角关系式及二倍角公式；2013年新课标卷第10题以解三角形为背景，考查倍角公式及余弦定理；2013年新课标卷第6题考查诱导公式、二倍角公式(降幂公式)；2014年新课标卷第14题考查两角和的三角函数；2015年新课标卷第2题考查诱导公式、两角和与差的正余弦公式本节复习时，应准确把握公式的特征，
2、活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；重点解决三角函数式的化简、求值、求角问题1两角和与差的三角函数coscossinsin三角函数两角和简写形式正弦sin()sincoscossinS余弦cos()_C正切tan()T三角函数两角差简写形式正弦sin()sincoscossinS余弦cos()coscossinsinC正切tan()Ttantan1tantantantan1tantan2sincos2二倍角的三角函数3.降次公式三角函数二倍角简写形式正弦sin2_S2余弦cos2cos2sin22cos2112sin2C2正切tan2T222tan1 tancos21cos22；sin
3、21cos22.4辅助角公式asinxbcosx a2b2sin(x)其中 cosaa2b2，sinba2b2，tanba，角 称为辅助角D2(2015 年上海)函数 f(x)13sin2x 的最小正周期为_.1下列各式的值为14的是()A2cos2 121 B12sin275C 2tan22.51tan222.5 Dsin15cos15 解析：因为 2sin2x1cos2x，所以 f(x)132(1cos2x)1232cos2x，所以函数 f(x)的最小正周期为22.3 tan42tan181tan42tan18_.34(2011 年大纲)已知 2，sin 55，则 tan2_.43解析：由
4、 2，sin 55 得 cos2 55，故 tansincos12.tan2 2tan1tan243.考点 1 给角求值问题例 1：(1)(2015 年新课标)sin20cos10cos160sin10()ABC12D12故选 D.答案：D3232解析：原式sin20cos10cos20sin10sin30.12(2)(2015 年四川)sin15sin75_.解析：方法一，sin15sin75sin15cos15 2sin(1545)62.方法二，sin15sin75sin(4530)sin(4530)2sin45cos30 62.方法三，sin15sin75 6 24 6 24 62.答案
5、：62答案：(4)计算：tan20tan40tan20tan40_.答案：(3)计算：cos10 3sin101cos80_.解析：cos10 3sin101cos802cos10602sin240 2cos502sin40 2.233解析：tan(2040)tan20tan401tan20tan40，可得 33tan20tan40tan20tan40，移项，可得 tan20tan403tan20tan40 3.【规律方法】三角函数的给角求值，关键是把待求角用已知角表示：已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差；已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”的关系考点
6、2 给值求值问题则 tan的值为_答案：3例 2：(1)(2015年江苏)已知tan2，tan()，17解析：tantan()tantan1tantan1721273.A1B2C3D4(2)(2015 年重庆)若 tan2tan5，则cos310sin5()解析：由已知，cos310sin5coscos310sinsin310sincos5cossin5cos310tansin310tancos5sin5cos3102tan5sin3102tan5cos5sin5 答案：Ccos5cos3102sin5sin310sin5cos5 12cos510cos 1012sin25 3cos 10co
7、s 103.故选 C.【互动探究】1(2013年广东广州二模)已知为锐角，且cos则 sin_.3,45210解析：为锐角，cos4 35，sin4 45，sinsin44 sin4 cos4cos4 sin44535 22 210.考点 3 给值求角问题例 3：已知 A，B 均为钝角，且 sinA 55，sinB 1010，求AB 的值解：A，B 均为钝角，且 sinA 55，sinB 1010，cosA 1sin2A 252 55，cosB 1sin2B 3103 1010.cos(AB)cosAcosBsinAsinB【规律方法】已知三角函数值求角时，要先确定所求角的 范围，再选择在该范
8、围内具有单调性的某一三角函数求解，否2 553 1010 55 1010 22.又2A，2B，AB0，0)的最大值为 2，最小正周期为 8.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若函数 f(x)图象上的两点 P，Q 的横坐标依次为 2,4，O为坐标原点，求 cosPOQ 的值例题：(2013 年广东广州一模)已知函数 f(x)Asinx4(其解：(1)f(x)的最大值为 2，且 A0，A2.f(x)的最小正周期为 8，T28，即 4.f(x)2sin4x4.(2)方法一，f(2)2sin24 2cos4 2，f(4)2sin4 2sin4 2，P(2，2)，Q(4，2)|OP|6，|PQ|2
9、3，|OQ|3 2.cosPOQ|OP|2|OQ|2|PQ|22|OP|OQ|623 222 322 63 2 33.方法二，f(2)2sin24 2cos4 2，f(4)2sin4 2sin4 2，P(2，2)，Q(4，2)OP(2，2)，OQ(4，2)cosPOQcosOP，OQ OP OQ|OP|OQ|663 2 33.方法三，f(2)2sin24 2cos4 2，f(4)2sin4 2sin4 2，P(2，2)，Q(4，2)如图 3-5-1，作 PP1x 轴，QQ1x 轴，垂足分别为 P1，Q1，则|OP|6，|OP1|2，|PP1|2，|OQ|3 2，|OQ1|4，|QQ1|2.图
10、3-5-1设POP1，QOQ1，则 sin 33，cos 63，sin13，cos2 23.cosPOQcos()coscossinsin 33.1在处理三角函数问题时，尽量做到三个统一，即角的统一、函数名统一、次数统一，其中角的统一是第一位的合一变换与降次都是经常使用的方法，合一变换的目的是把一个角的两个三角函数的和转化为一个角的一个三角函数.降次的目的，一方面是把一个角变为原来的两倍，另一方面是为了次数的统一2三角函数求值的类型及方法(1)给角求值：关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数(2)给值求值：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)给值求角：实质上也转化为给值求值，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围3巧用公式变形和差角公式变形：tanxtanytan(xy)(1tanxtany)；倍角公式变形：降幂公式 cos21cos22，sin21cos22，配方变形：1sinsin2cos22，1cos2cos22，1cos2sin22.