1、三角函数与平面向量的综合应用 题型一 三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例 1】已知 A、B、C 为三个锐角，且 ABC.若向量p(22sinA，cosAsinA)与向量q(cosAsinA，1sinA)是共线向量.（1）求角 A；（2）求函数 y2sin2BcosC3B2的最大值.【解】（1）p、q 共线，(22sinA)(1sinA)(cosAsinA)
2、(cosA+sinA)，则 sin2A34，又 A 为锐角，所以 sinA 32，则 A3.（2）y2sin2BcosC3B22sin2Bcos(3B)3B22sin2Bcos(32B)1cos2B12cos2B 32 sin2B 32 sin2B12cos2B1sin(2B6)1.B(0，2)，2B6(6，56)，2B62，解得 B3，ymax2【点评】本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定 B 角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问
3、题确定角的范围就显得至关重要了.题型二 三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例 2】已知向量a(3sin,cos)，b(2sin，5sin4cos)，(32，2)，且a b（1）求 tan 的值；（2）求 cos(23)的值 【解】（1）a b，a b 0而a（3sin，cos），b(2sin,5sin4cos)，故a b 6sin25sincos4cos20由于 cos0，6tan25tan40解之
4、，得 tan43，或 tan12（32，2），tan0，故 tan12（舍去）tan43（2）（32，2），2（34，）由 tan43，求得 tan212，tan22（舍去）sin2 55，cos22 55，cos(23)cos2cos3sin2sin32 55 12 55 32 2 5 1510【点评】本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（1）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数
5、”关系问题常用方法.题型三 三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质|a|2a 2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例 3】已知向量a(cos,sin)，b(cos,sin)，|a b|25 5.(1)求 cos()的值；(2)若202，且 sin 513，求 sin 的值【解】(1)|a b|25 5，a 22a b b 245，将向量a(cos,sin)，b(cos,sin)代入上式得122(coscossinsin)1245，cos()35.(
6、2)202，0，由 cos()35，得 sin()45，又 sin 513，cos1213，sinsin()sin()coscos()sin3365.【点评】本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|a b|为向量运算|a b|2(a b)2；(2)注意解 的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.【例 4
7、】设函数 f(x)a b.其中向量a(m，cosx)，b(1sinx，1)，xR，且 f(2)2.（1）求实数 m 的值；（2）求函数 f(x)的最小值.解：（1）f(x)a b m(1sinx)cosx，由 f(2)2，得 m(1sin2)cos22，解得 m1.(2)由（1）得 f(x)sinxcosx1 2sin(x4)1，当 sin(x4)1 时，f(x)的最小值为 1 2.【点评】平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”
8、，再利用三角函数的相关知识进行求解 题型五 三角函数的性质与平面向量的综合【例5】已知平面向量 =(cos,sin),=(cos x,sin x),=(sin,-cos)，其中0,且 函数f(x)=()cos x+()sin x的图象过点 (1)求的值及函数f(x)的单调增区间；(2)先将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位，然后将得到函 数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在 上的最大值和最小值.,1.6()120,2acba bb c解：(1)因为 =cos cos x+sin sin x=cos(-x),=cos xsin-s
9、in xcos=sin(-x).所以f(x)=()cos x+()sin x=cos(-x)cos x+sin(-x)sin x=cos(-x-x)=cos(2x-),即f(x)=cos(2x-),a ba bb cb c所以 而0,所以 所以 由 得 即f(x)的单调增区间为 fcos1,63 ()().3 f xcos 2x,3()2k2x2k.3 kxk,36 k,kkZ.36(2)由(1)得，f(x)=平移后的函数为 于是 当 所以 即当 时，g(x)取得最小值 当 时，g(x)取得最大值1.cos 2x,3()ycos2 xcos 2x,1236()()g xcos x.6()x0,
10、x.2663时，1cos(x)1,26x21,2x6【点评】平面向量与三角函数性质的综合问题的解法(1)利用平面向量的数量积把向量问题转化为三角函数的问题.(2)利用三角函数恒等变换公式(尤其是辅助角公式)化简函数解析式.(3)根据化简后的函数解析式研究函数的性质.【加固训练】(2014保定模拟)已知O为坐标原点，(1)求y=f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)的定义域为 值域为2,5，求m的值.2OA2sin x,1,OB1,2 3sin xcos x1,f xOA OBm.,2 ，【解析】(1)由 得y=f(x)的单调递增区间为 2f x2sin x2 3sin xcos x1 m 1 cos 2x3sin 2x1m2sin 2x2m.6 ()32k2x2kkZ,262 2k,k kZ.63(2)当 所以 所以1+mf(x)4+m,713x2x,2666 时，11sin 2x,62()1m2,m1.4m5 所以
