1、广东省深圳市外国语学校2020届高三数学4月综合能力测试试题 理本试卷分必做题和选做题两部分满分分，考试时间分钟注意事项：1客观题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号主观题用毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答题无效2选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效3考试结束后，监考员将答题卡收回第卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集，集合, 则（ ）A. B. C. D. 2.设是平面，是空间两
2、条不重合的直线，且则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3.为考察某种药物对预防新冠肺炎的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防新冠肺炎有效果的图形是（ ） 4欧拉公式（ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限5.平面向量与的夹角为60，且，为单位向量，则（
3、）A. B. C. 19D. 6.已知圆C：x2y210y210与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D.7.函数的图像大致是( )8已知，满足且目标函数的最大值为7，最小值为，则（）A. B. C. D.9. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹, 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术, 蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。现有一幅剪纸的设计图如右图, 其中的4个小圆均过正方形的中心, 且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点, 则该点取自黑色部分的概率为( ) A. B. C. D. 10. 已知函数, 且函数在上单调递增, 则正数的最大值为(
4、 ) A. B. C. D. 11.已知点，动点满足：，直线与点的轨迹交于两点，则直线的斜率之积（ ） A. B. C. D. 不确定12已知正四面体的棱长为，分别是上的点，过作平面，使得均与平行，且到的距离分别为，则正四面体的外接球被所截得的圆的面积为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知一组鞋码与身高的数据（表示鞋码，表示身高），其中.若用此数据计算得到回归直线，则由此估计当鞋码为时身高约为_.14.已知，则二项式的展开式中的系数为 .15 中，角所对应的边分别为，已知，则 16.若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .三、 解答题：解答
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)已知递增等差数列满足，数列满足.（）求的前项和；（）若，求数列的通项公式.18.(本小题满分12分)如图1，在直角梯形中，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，使得，得到四棱锥.（）证明：平面平面；（）若直线与平面所成角为.求.19.(本小题满分12分)已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切,（）求动圆的圆心的轨迹的方程，（）过点的直线交曲线于两点，直线分别交直线于点和点求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.方案防控等级费用(单位: 万元)方案一无措施0方案二防控1级灾害40方案三防控2级灾害10020.（本小题满分12分） 依
6、据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲) 所示; 依据当地的地质构造, 得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙) 所示.（）以此频率作为概率, 试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率;（）该河流域某企业, 在8月份, 若没受1、2级灾害影响, 利润为500万元; 若受1级灾害影响, 则亏损100万元; 若受2级灾害影响则亏损1000万元. 现此企业有如下三种应对方案: (如右表) 。试问, 如仅从利润考虑, 该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由. 21 （本小题满分12分）已知函数有两个不同的极值点.（）求实数的取值范围；（）设，求证：请考生在
7、第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.（本小题满分10分）选修44 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.()求的长；()在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离。23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为，()求的值 ，()已知为正数,且,证明: .数学（理）试卷答案第卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集，集合, 则（C. ）A. B. C. D. 2.设是平面，是空间两条
8、不重合的直线，且则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2.【答案】B.【解析】.3.为考察某种药物对预防新冠肺炎的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防新冠肺炎有效果的图形是（ ） 3.【答案】D【解析】从图知，不服药患病的概率高，服药患病的概率低，故选D. 4欧拉公式（ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（ ）A
9、 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限4.【答案】A【解析】5.平面向量与的夹角为60，且，为单位向量，则（ B ）A. B. C. 19D. 6.已知圆C：x2y210y210与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ C ）A. B. C. D.7.函数的图像大致是( )7.【答案】【解析】当时，单调递增排除，当时单调递减.8已知，满足且目标函数的最大值为7，最小值为，则（）A. B. C. D.8.【答案】B.9. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹, 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术, 蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。现有一幅剪纸的设计图如右图,
10、其中的4个小圆均过正方形的中心, 且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点, 则该点取自黑色部分的概率为( ) A. B. C. D. 9【答案】B.【详解】如图所示，设正方形的边长为1，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故黑色部分面积，正方形的面积为1，在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为，故选：B10. 已知函数, 且函数在上单调递增, 则正数的最大值为( ) A. B. C. D. 10. 【答案】D. 【详解】依题意，又函数在上单调递增，即，得11.已知点，动点满足：，直线与点的轨迹交于两点，则直线的斜率之积（ ） A. B. C. D
11、. 不确定12.【答案】 A.【解析】点的轨迹方程为12已知正四面体的棱长为，分别是上的点，过作平面，使得均与平行，且到的距离分别为，则正四面体的外接球被所截得的圆的面积为（ ）B. B. C. D. 12. C【解析】将正四面体补形成棱长为6的正方体，则的外接球球心即为正方体的中心，故球的半径,且与面平行，到面的距离分别为和，此时到的距离为，故被球所截圆半径，从而截面圆的面积为.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知一组鞋码与身高的数据（表示鞋码，表示身高），其中.若用此数据计算得到回归直线，则由此估计当鞋码为时身高约为_.13. 【解析】，将代入回归直线可得，故当鞋
12、码为时身高约为.14.已知，则二项式的展开式中的系数为 .14.【答案】.【解析】二项式的展开式中的系数为.15 中，角所对应的边分别为，已知，则 15. .【解析】，.16.若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .16.【答案】【解析】当且仅当时取等号；所以.四、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)已知递增等差数列满足，数列满足.（）求的前项和；（）若，求数列的通项公式.解：()设数列公差为，由解得:,所以()18.(本小题满分12分)如图1，在直角梯形中，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，使得，得到四棱锥.（）证明：平面平面；（）若直线与平面
13、所成角为.，求.【解析】（I）在图1中，易证四边形为正方形，所以即在图2中， ，从而为平面与平面所成二面角的平面角，又由知，所以平面平面.（）由（）知由，平面平面，且平面平面 ，又，所以平面，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，得：由得， ，设平面的法向量，则，得，取，又，从而.19.(本小题满分12分)已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切,（）求动圆的圆心的轨迹的方程，（）过点的直线交曲线于两点，直线分别交直线于点和点求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.解：（）易知到点的距离与到直线的距离相等，所以的轨迹方程为：（4分）（）显然直线不与轴重合，设直线方程为：，与联立消得：，设，则，直线方程
14、为：，所以即，同理，所以以为直径的圆方程为：，令得：，即，以为直径的圆经过轴上的两个定点和.(12分)方案防控等级费用(单位: 万元)方案一无措施0方案二防控1级灾害40方案三防控2级灾害10020.（本小题满分12分） 依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲) 所示; 依据当地的地质构造, 得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙) 所示.（）以此频率作为概率, 试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率;（）该河流域某企业, 在8月份, 若没受1、2级灾害影响, 利润为500万元; 若受1级灾害影响, 则亏损100万元; 若受2级灾害影响则亏损1000
15、万元. 现此企业有如下三种应对方案: (如右表) 。试问, 如仅从利润考虑, 该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由. 18解：（）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：， 记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以 记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件则估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为 （）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为： ，由（1）知的分布列为X1500
16、1001000P0.810.1550.035则该企业在8月份的利润期望（万元）选择方案二，则（万元）的取值为： ，由（）知，的分布列为：X24601040P0.9650.035则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为： （万元）由于，因此企业应选方案二22 （本小题满分12分）已知函数有两个不同的极值点.（）求实数的取值范围；（）设，求证：21【解析】（）由已知，则为在的两个不同的零点，且，故当时，当时，所以当时单调递增，当时单调递减.故当在有两不同的实根时，解得（）不妨假设，则，时，所以在单调递减，故而，设，则因为时，故，所以在单调递减，故有，即成立，即，从
17、而，即 综上所述请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.（本小题满分10分）选修44 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.()求的长；()在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离。解:()直线的参数方程化为标准型（为参数）代人曲线方程得：设，对应的参数分别为，则所以；()点的直角坐标为在直线上中点对应的参数为所以点到线段中点的距离。23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为，()求的值 ，()已知为正数,且,证明: .解：()，所以()由，同理则，即当且仅当时等号成立