1、峨山一中2020-2021学年上学期12月月考高二文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. B分析：根据偶次根式的被开方非负列式可解得结果.解答：由得，所以函数的定义域为.故选：B2. 若为实数，且，且的最小值为（ ）A. B. C. D. B分析：根据基本不等式可知，结合条件求解出的最小值.解答：因为，取等号时，所以的最小值为，故选：B.点拨：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定
2、”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3. 已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是（ ）A. 27.5B. 28.5C. 27D. 28A分析：将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义计算可得.解答：将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列为：，所以这组数据的中位数是.故选：A.点拨：关键点点睛：理解茎叶图，掌握中位数的定义是本题的解题关键.4. 在中，则的大小（ ）A. B
3、. C. D. D分析：根据余弦定理求解即可.解答：解：由已知得：，所以由余弦定理得：，又因为，所以.故选：D.5. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件B分析：根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.解答：由题意知“”是“”，当时，则不一定成立，即充分性不成立；当时，可得成立，即必要性成立，所以“”是“”必要不充分条件.故选：B.6. 不等式4x24x+10的解集为（ ）A. B. x|xC. RD. C解答：试题分析：把原不等式化为（2x1）20，由此解出不等式的解集解：不等式4x24x+10可化为（2x1）20，解得xR；
4、该不等式的解集为R故选C考点：一元二次不等式的解法7. 如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是A. B. C. D. A分析：由三视图可知，该几何体为正四棱锥，根据三视图中数据，利用锥体体积公式可得结果,.解答：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面是边长为2的正方形，面积为4，四棱锥的高是正视图与侧视图三角形的高，为，所以，该几何体的体积为，故选A.点拨：三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚
5、线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. D分析：先利用和角公式展开，平方可求.解答：平方可得，所以,故选D.点拨：本题主要考查倍角公式，熟记公式是求解关键，题目较为简单,侧重考查数学运算的核心素养.9. 若向量满足，且，则向量夹角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90C分析：根据，解得，然后由求解.解答：因为向量满足，且，所以解得，所以，因为，所以.故选：C10. 直线与圆相交于A、B两点，则弦AB的长等于 A. B. C. D. 1B分析：先由点到直线距公式求出圆心到直线距离，再由弦长，即可得出结果.解答：因为圆圆心为，半径为
6、；所以圆心到直线的距离，因此，弦长.故选B点拨：本题主要考查求直线被圆所截的弦长，熟记几何法求解即可，属于基础题型.11. 在等比数列中， 0，且+2+=25，那么+=（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20A分析：根据等比数列的性质，得到，即可求解.解答：由题意，等比数列中， 0，且+2+=25，根据等比数列的性质，可得，因为，所以.故选：A.12. 在区间上任取两个数、，则满足的概率是（ ）A B. C. D. C分析：根据几何概型的概率公式可求得结果.解答：依题意可知，表示一个矩形区域，表示圆面，如图：根据几何概型可得所求概率为.故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20
7、分.）13. 已知向量，若，则=_.4分析：根据平面向量平行的坐标表示可得结果.解答：因为，所以，得.故答案为：414. 设 是定义在上的奇函数，当时，则 _.分析：已知时，解析式，故可求得f（-1），进而根据函数是奇函数，求得f（1）= -f（-1）.解答：是奇函数，f（1）= -3.点拨：本题考查函数奇偶性的应用，若函数是奇函数，则f（-x）= -f（x），若函数是偶函数，则 f（-x）= f（x）.利用函数的奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.15. 若实数满足约束条件，则的最大值是 .解答：试题分析：如图作出可行域,由目标函数可得.在过点时,在轴上截距最大.故最大值.故本题应填
8、.考点：简单的线性规划16. 在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积是 _ .分析：以为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积.解答：由题意，在三棱锥中，平面，以为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥的外接球，所以三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案：点拨：方法点睛：本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共6题
9、，共70分.)17. 已知函数求：（1）的最小正周期；（2）在上的值域.（1）；（2）.分析：（1）根据恒等变换公式化简，利用正弦型函数的周期公式可求得结果；（2）根据正弦函数的图象可求得结果.解答：（1） 的最小正周期为（2） .所以在上的值域为.18. 某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的A，B两项指标数据进行收集和分析，得到的数据如下表：指标1号小白鼠2号小白鼠3号小白鼠4号小白鼠5号小白鼠A57698B22344（1）若通过数据分析，得知A项指标数据与B项指标数据具有线性相关关系.试根据上表，求B项指标数据y关于A项指标数据x的线性回归方程；（2）现要从这5只小白鼠中随机抽取2只，求
10、其中至少有一只小白鼠的B项指标数据高于3的概率. 参考公式： ，.（1）；（2）.分析：（1）根据题中数据，先计算，再由公式计算出与，即可得出回归直线方程；（2）先设1号至5号小白鼠依次为，根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.解答：(1)由题意，可得，所求线性回归方程为； (2)设1号至5号小白鼠依次为，则在这5只小白鼠中随机抽取2只的抽取情况有:，共10种.随机抽取的2只小白鼠中至少有一只的B项指标数据高于3的情况有，共7种.从这5只小白鼠中随机抽取2只，其中至少有一只小白鼠的B项指标数据高于3的概率为.点拨：思路点睛：利用最小二乘法求回归
11、直线方程的一般步骤：（1）先由题中数据求出两变量的平均数、，（2）再根据，求出和，（3）将系数代入回归直线方程，可得回归直线方程.19. 如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，为的中点（I）证明平面；（II）求四面体的体积.()证明见解析；().解答：试题分析：（）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果试题解析：（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面. （）因为平面，为的中点，所以到平
12、面的距离为. 取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积. 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解20. 已知数列前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）求的前项和.（1）；（2）.分析：（1）根据可求得结果；（2）利用裂项求和方法可求得结果.解答：（1） Snn2n，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n
13、1)2n，又a12满足上式，an2n（2）Snn2nn(n1)，.21. 的内角，的对边分别为，.（1）求；（2）若，求面积的最大值.（1）；（2）.分析：（1）由，平方展开再利用正弦定理，然后利用余弦定理求解.(2)利用余弦定理，结合基本不等式得到，再由求解.解答：（1）因为，所以，由正弦定理可得：，.(2)，等号成立 ， ，点拨：方法点睛：有关三角形面积最值的求法：（1）利用正余弦定理转化为边，再利用基本不等式求解；（2）利用正余弦定理转化为角，结合三角恒等变换，再利用三角函数的性质求解.22. 已知以点P为圆心的圆经过点A（1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且
14、|CD|.（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程.（1）xy30（2）圆P的方程为（x3）2（y6）240或（x5）2（y2）240分析：（1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），求出的值，即得圆P的方程.解答：（1）由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标为（1，2）. 所以.则直线CD的方程为y2（x1），所以直线CD的方程为xy30.（2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得ab30.又因为直径|CD|4，所以|PA|2，所以（a1）2b240.由解得或所以圆心P（3，6）或P（5，2）.所以圆P的方程为（x3）2（y6）240或（x5）2（y2）240.点拨：本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
