1、第5讲圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的综合问题例1(12分)(2014课标全国)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.规范解答解(1)设F(c,0)，由条件知，得c.2分又e，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.5分(2)当lx轴时，不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，6分将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.7分当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又
2、点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.9分设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，11分所以，当OPQ的面积最大时l的方程为yx2或yx2.12分评分细则第(1)问得分点1.由直线的斜率，得出c值，得2分，列出关于c的方程，求解结果错误只得1分.2.由椭圆的离心率求得a值得2分，得出E的方程得1分.第(2)问得分点1.设出直线l的方程得1分，没有考虑斜率不存在，直接设出直线方程不得分.2.直线方程与椭圆方程联立，得出一元二次方程得1分，方程不正确，不得分.3.求出弦长给1分，只给出弦长值而没有过程，不得分.4.求出三角形的面积得1分；只写
3、出面积公式没有代入数据，不给分.5.求出k值得2分，没有验证是否满足方程的判别式扣1分.6.写出直线l的方程得1分.第一步：由圆锥曲线几何性质及已知条件求参数a，b，c，e中某个值；第二步：求圆锥曲线方程；第三步：分析直线与圆锥曲线的关系，联立方程，得一元二次方程；第四步：由“”或根与系数的关系，弦长公式等，寻找解决问题的思路；第五步：通过化简、运算，得出结果；第六步：回顾反思，查验问题的完备性.跟踪训练1(2014北京)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论.题
4、型二圆锥曲线中的定点、定值问题例2(14分)(2014山东)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形.(1)求C的方程.(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标.ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.规范解答解(1)由题意知F(，0).设D(t,0)(t0)，则FD的中点为(，0).因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去).2分由3，解得p2.所以抛物
5、线C的方程为y24x.4分(2)由(1)知F(1,0).设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0).因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02,0)，故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.6分设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0).由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1,0).当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1,0)，所以直线AE过定点F(1,0).9分由知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE
6、|AF|FE|(x01)x02.10分设直线AE的方程为xmy1.因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1).直线AB的方程为yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入抛物线方程得y2y84x00，所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4.12分则ABE的面积S416，当且仅当x0，即x01时等号成立.所以ABE的面积的最小值为16.14分评分细则第(1)问得分点1.求出t的值，得2分，列出关于t的方程，求解结果错误只得1分.2.得出抛物线方程得2分.第(2)问得分点1.写出直线l1在y轴上的截距得2分.2.得出直线AE过定点得3分，只
7、考虑当y4，且得出此时直线AE过定点，只能得2分，只考虑当y4且得出此时直线AE过定点，只能得1分.3.求出|AE|的长，且结论正确给1分，只给出弦长值而没有过程，不得分.4.正确得出B到直线AE的距离得2分；只写对结果，但没有过程只能得1分.5.求出面积的最小值得2分，没有指出等号成立的条件扣1分.第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；第二步：列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程；第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成yy0k(xx0)的形式，则kR时直线恒过定点(x0
8、，y0)；若是动态的曲线方程，将动态的曲线方程转化成f(x，y)g(x，y)0的形式，则R时曲线恒过的定点即是f(x，y)0与g(x，y)0的交点；第四步：下结论；第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.跟踪训练2已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为1，离心率为e.(1)求椭圆E的方程；(2)过点(1,0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.答案精析第5讲圆锥曲线跟踪训练1解
9、(1)由题意得，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)直线AB与圆x2y22相切证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.当x0t时，y0，代入椭圆C的方程，得t，故直线AB的方程为x，圆心O到直线AB的距离d.此时直线AB与圆x2y22相切当x0t时，直线AB的方程为y2(xt)即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心O到直线AB的距离d.又x2y4，t，故d .此时直线AB与圆x2y22相切跟踪训练2解(1)设椭圆E的方程为1(ab0)，由已知
10、得解得所以b2a2c21.所以椭圆E的方程为y21.(2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1m，y1)，(x2m，y2)，(x1m)(x2m)y1y2x1x2m(x1x2)m2y1y2.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，由得x22k2(x1)220，即(2k21)x24k2x2k220，则x1x2，x1x2，y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1，所以mm2.因为对于任意的k值，为定值，所以2m24m12(m22)，得m.所以M，此时，.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，则x1x22，x1x21，y1y2，由m，得.综上，符合条件的点M存在，且坐标为.