1、内蒙古通辽市科左后旗甘旗卡第二高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）第卷（选择题60共分）一.选择题（每小题5分，共60分）1. sin53cos23cos53sin23等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用两角差的正弦公式可得答案.【详解】sin53cos23cos53sin23=.故选：A.2. 若向量与垂直，则实数的值为A. 2B. -2C. 8D. -8【答案】B【解析】【分析】利用向量数量积等于零构造方程，求解得到结果.【详解】 即，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积，关键是明确向量互相垂直等价于向量数量积等于零.
2、3. 设数列的前n项和=，则的值为A. 15B. 16C. 49D. 64【答案】A【解析】【分析】利用求解即可.【详解】因为数列的前n项和=，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式.4. 在边长为2的等边三角形中，若，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】分析：用基底表示目标向量，从而得到数量积.详解：边长为2的等边三角形中，.故选B点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数
3、量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.5. 已知数列为等差数列，若，则（ ）A. 5B. 10C. D. 【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质可得，代入数据计算可得答案【详解】根据题意，等差数列中，有，若，则；故选A【点睛】本题考查等差数列性质（其中m+n=p+q）的应用，属于基础题6. 在中，则（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】先选用正弦定理求解的大小，再根据的内角和为即可求解的大小.【详解】因为，代入数值得：；又因为，所以，则或；当时，；当时，.所以或.故选D.【点睛】解三角形过程中涉及到多解的时候，不能直接认为所有解都合适，要通过给
4、出的条件判断边或角的大小关系，从而决定解的个数，7. 已知向量，若，则实数k的值为（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出k的值【详解】解：，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量共线的坐标表示及运算，属于基础题8. 在中，若，则( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 非等腰三角形D. 直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换的公式，化简得到,求得，即可求解，得到答案【详解】由题意知，在中，若，即，化简得，即,所以，即，所以是等腰三角形，故选B【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角形形状的判定，其中解答中
5、熟练应用三角恒等变换的公式，化简得到是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题9. 已知A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：因为，选C10. 若的内角、所对应的边、满足,且,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】的边，满足，又，由余弦定理得，故选C.11. 在中，角，所对的边分别为，若，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理，结合题中所给的条件，求得结果.【详解】根据正弦定理可得，即，解得，故选：B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用正弦定理解三角形，属于基础题目.12. 在中，角所对的边分别为
6、，表示的面积，若，则等于()A. 90B. 60C 45D. 30【答案】C【解析】【详解】由和正弦定理，得，即，即，则由，得，即；故选C.二.填空题（每小题5分，共20分）13. 已知与的夹角为，则_.【答案】4【解析】【分析】根据向量数量积定义直接计算.【详解】因为与的夹角为，所以，故答案为：414. 若=（1，5），=（-1,2），则_.【答案】9【解析】【分析】直接利用向量数量积的坐标运算即可.【详解】因为=（1，5），=（-1,2），所以.故答案为：9.15. 若，则_【答案】【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦的二倍
7、角公式的应用，属于基础题.16. ABC中，若,那么角B=_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理，条件可化为，再根据余弦定理，可求得答案【详解】由题意， 由正弦定理可得，所以，又因为，所以.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到三.解答题17. 已知向量.（1）求；（2）若，求实数k.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据向量的坐标运算可得答案；（2
8、）由向量平行的坐标运算条件可得答案.【详解】（1）（2），解之得：【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量平行的条件，属于基础题.18. 已知等差数列中（1）求数列的通项公式（2）当n取何值时，数列的前 项和取得最值 ，并求出最值【答案】当时，取最小值，最小值【解析】【分析】（1）根据等差数列定义及的值，代入即可求得公差，即可得通项公式（2）根据等差数列的前n项和公式，求得，利用配方法得关于n的二次函数，即可判断最值，注意n取正整数【详解】 当或 时取最小值，最小值为【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法，等差数列前n项和公式的简单应用，属于基础题19. 已知等差数列的首项，公差，前项和为，（
9、1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）由等差数列的求和公式，求得，结合，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）知，结合“裂项法”，即可求解.【详解】（1）由题意，等差数列中，公差，又由，即.（2）由（1）知，.【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式，以及数列的“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记等差数列的求和公式，以及熟练应用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20. 如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看
10、灯塔B在北偏东120，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离【答案】（1）24；（2）8【解析】【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长（2）在ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得【详解】(1) 在ABD中，由已知得ADB=60，B=45由正弦定理得(2) 在ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC22ADACcos30，解得CD=所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile【点睛】点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三
11、角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.21. ABC中，是角A，B，C所对的边，已知，求角A的大小.【答案】【解析】【分析】由正弦定理化为三角函数，根据两角和差的正弦公式化简即可求角.【详解】由已知，结合正弦定理得:，即，C为三角形内角，又，22. 设函数.（1）求的最小正周期和对称中心；（2）当时，求函数的最值.【答案】（1）， ，；（2）最小值为，最大值为.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解（2）求出的取值范围，然后由正弦函数性质得最值【详解】（1），的最小正周期是，由得，对称中心是.，（2）时，此时.最大值为，此时，最小值为，此时，综上，的最小值为，最大值为.【点睛】本题考查二倍角公式、两角和与差的正弦公式，考查正弦函数的性质，掌握正弦函数性质是解题关键
