1、2从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法,1.向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫作向量的加法法则三角形法则前提已知向量a，b，在平面内任取一点A作法作a，b，再作向量结论向量叫作a与b的和，记作ab，即ab图形平行四形法则前提已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O作法以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB结论对角线就是a与b的和图形规定零向量与任一向量a的和都有a00aa.2.向量加法的运算律交换律abba结合律（ab）ca（bc）1.判断正误.（正确的打“”，错误的打“”）（1）任意两个向量的和仍然是一个向量.（）（2）|ab|a|b|等号成立的条件是
2、ab.（）（3）任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.（）解析：（1）正确.根据向量和的定义知该说法正确.（2）错误.条件应为ab，且a，b的方向相同.（3）错误.当两个向量共线时，两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线.答案：（1）（2）（3）2.在ABC中，必有等于（）A.0B.0C.任一向量 D.与三角形形状有关答案：B3.化简下列各向量：（1）.（2）.解析：根据向量加法的三角形法则及运算律得：（1）.（2）.答案：（1）（2）4.在正方形ABCD中，|1，则|.答案：1.对向量加法的三角形法则的四点说明（1）适用范围：任意向量.（2）注意事项：两个向量一定首尾相连；和向量
3、的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点.（3）方法与步骤：第一步，将b（或a）平移，使一个向量的起点与另一个向量的终点相连；第二步：将剩下的起点与终点用有向线段相连，且有向线段的方向指向终点，则该有向线段表示的向量即为向量的和.也称“首尾相连，连首尾”.（4）图示：如图所示2.对向量加法的平行四边形法则的四点说明（1）适用范围：任意两个非零向量，且不共线.（2）注意事项：两个非零向量一定要有相同的起点；平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量.（3）方法与步骤：第一步：先把两个已知向量a与b的起点平移到同一点；第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则两邻边所夹的对角线所表示
4、的向量即为a与b的和.（4）图示：如图所示已知向量作和向量如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.【解】法一：如图（1），在平面内作a，b，则ab；再作c，则abc.法二：如图（2），在平面内作a，b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则ab；再作c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则abc.已知向量求作和向量的方法（1）用三角形法则，在平面内任取一点，顺次作两个向量等于已知向量，从起点到终点的向量就是两个向量的和.（2）用平行四边形法则，在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以它们为邻边作平行四边形，共起点的对角线对应的向量就是这两个向量的和. 1.如
5、图，已知向量a、b，求作向量ab.解：（1）作a，b，则ab，如图（1）.（2）作a，b，则ab，如图（2）.（3）作a，b，则ab，如图（3）.向量的加法运算（1）下列等式不正确的是（）a（bc）（ac）b；0；.A.B.C. D.（2）设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简：；.【解】（1）选B.由向量的加法满足结合律知正确；因为0，故不正确；成立，故正确.（2）（）.（）（）000.向量加法运算律的意义和应用原则（1）意义向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意
6、的组合来进行. （2）应用原则利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.2.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：（1）；（2）.解：（1）.（2）0.向量加法的应用（1）已知图中电线AO与天花板的夹角为60，电线AO所受拉力|F1|24 N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|12 N，则F1与F2的合力大小为N；方向为.（2）如图是中国象棋的部分棋盘，“马走日”是象棋中“马”的走法，如果不从原路返回，那么“马”从A经过B再走回到A最少需几步？【解】（1）如图，根据向量加法的平行四边形法则，得
7、合力F1F2.在OAC中，|F1|24，|12，OAC60，所以OCA90，|12，所以F1与F2的合力大小为12 N，方向为竖直向上.故填12和竖直向上.（2）如图，如果不从原路返回，那么所走路线为ABCDA，即0，所以最少需四步.本例（2）条件不变，若不限步数，那么“马”从A经过B再走回A时，所走的步数有什么特点？解：若不限步数，则“马”从A经过B再走回A时，不论如何走，均需走偶数步，且不少于四步. 应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题.
8、（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 3.在搜救印尼客机失联事件中，救援中心派出一架救援直升机对印尼和奥克西比尔之间的气象条件进行实地侦察，该飞机从A地沿北偏东60方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升机与A地的相对位置.解：如图所示，设，分别是直升机的两次位移，则表示两次位移的合位移，即.在RtABD中，|20 km，|20 km.在RtACD中，|40 km，CAD60，即此时直升机位于A地北偏东30方向，且距离A地40 km处.易错警示未能正确理解向量加法致误小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，
9、同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为km/h.解析如图，设船在静水中的速度为|v1|10 km/h，河水的流速为|v2|10 km/h，小船实际航行速度为v0，则由|v1|2|v2|2|v0|2，得（10）2102|v0|2，所以|v0|20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.答案20（1）解答本题，易将船的实际速度当成河水的流速与静水速度之和，导致得不到正确的实际航速关系式而出错.（2）向量的和一般不能直接用模作和；要注意向量的方向的合成，如本例中用两个速度不能直接作和；船在静水中的航行速度，水流的速度，船实际的航行速度三者间当航行方向与水流方向不共线
10、时不能直接求实际航行速度，如本例中两个方向垂直，利用勾股定理求速度的大小.1.下列等式错误的是（）A.a00aaB.0C.0D.解析：选B.由向量加法可知0.2.如图所示，四边形ABCD是梯形，ADBC，则（）A.B.C. D.解析：选B.3.化简（）（）.解析：原式（）（）.答案：, A基础达标1.在四边形ABCD中，若，则（）A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD是平行四边形.故选D.2.如图所示，在平行四边形ABCD中，（）A.B.C. D.解析：选C.（）0.3.已知
11、a，b，c是非零向量，则（ac）b，b（ac），b（ca），c（ab），c（ba）中，与向量abc相等的个数为（）A.5 B.4C.3 D.2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与abc相等，故选A.4.在矩形ABCD中，|4，|2，则向量的长度等于（）A.2 B.4C.12 D.6解析：选B.因为，所以的长度为的模的2倍，故选B.5.已知平行四边形ABCD，设a，且b是一非零向量，则下列结论：ab；aba；abb；|ab|a|b|.其中正确的是（）A. B.C. D.解析：选A.因为在平行四边形ABCD中，0，0，所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量
12、的和等于这个向量本身，所以正确，错误.6.当非零向量a，b满足时，ab平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.解析：由平面几何知识知，在平行四边形中，菱形的对角线平分其内角.答案：|a|b|7.已知G是ABC的重心，则.解析：如图，连接AG并延长交BC于E，点E为BC中点，延长AE到D，使GEED，则，0， 所以0.答案：08.在平行四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD是（图形）.解析：如图所示，又|，所以|，则四边形ABCD是矩形.答案：矩形9.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BPQC.求证：.证明：，所以.因为与大小相等，方向相反，所以0，故0.10.如图，在重300 N
13、的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力的大小.解：如图，在平行四边形OACB中，AOC30，BOC60，则在OAC中，ACOBOC60，OAC90，设向量，分别表示两根绳子的拉力，则表示物体的重力，|300 N，所以|cos 30150 N，|cos 60150 N.所以与铅垂线成30角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 N.B能力提升11.如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（）A. B.C. D.解析：选C.设a，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP，OQ之间
14、的对角线对应的向量即为向量a，则a与长度相等，方向相同，所以a.12.若|10，|8，则|的取值范围是.解析：如图，固定，以A为起点作，则的终点C在以A为圆心，|为半径的圆上，由图可见，当C在C1处时，|取最小值2，当C在C2处时，|取最大值18.答案：2，1813.已知|a|3，|b|3，AOB60，求|ab|.解：如图，因为|3，所以四边形OACB为菱形，连接OC、AB，则OCAB，设垂足为D.因为AOB60，所以AB|3.所以在RtBDC中，CD.所以|ab|23.14.（选做题）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且|1，0，cosDAB.求|与|.解：因为0，所以，所以四边形ABCD为平行四边形，又|1，知四边形ABCD为菱形.因为cosDAB，DAB（0，），所以DAB，所以ABD为正三角形，所以|2|.|1.