1、第二课时利用导数研究函数的极值、最值考点一利用导数求函数的极值多维探究角度1根据函数图象判断极值【例11】 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.答案D规律方法由图象判断函数yf(x
2、)的极值，要抓住两点：(1)由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点；(2)由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x)的值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2已知函数求极值【例12】 已知函数f(x)ln xax(aR).(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.解(1)当a时，f(x)ln xx，函数的定义域为(0，)且f(x)，令f(x)0，得x2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值f(2)l
3、n 21，无极小值.(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，则函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，若x，则f(x)0，若x，则f(x)0时，函数yf(x)有一个极大值点，且为x.规律方法运用导数求导函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.【训练1】 (1)(角度1)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(
4、x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析由函数极值的定义和导函数的图象可知，f(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.答案B(2)(角度2)(2019江苏卷节选)设函数f(x)(xa)(xb)(xc)，a，b，cR，f(x)为f(x)的导函数.()若abc，f(4)8，求a的值；()若ab，bc，且f(x)和f(x)的零点均在集合3，1，3中，求f(x)的极小值.解()因为abc，所以f(x)(xa)(xb)(x
5、c)(xa)3.因为f(4)8，所以(4a)38，解得a2.()因为bc，所以f(x)(xa)(xb)2x3(a2b)x2b(2ab)xab2，从而f(x)3(xb).令f(x)0，得xb或x.令f(x)0，得xa或xb.因为a，b，都在集合3，1，3中，且ab，所以1，a3，b3.此时，f(x)(x3)(x3)2，f(x)3(x3)(x1).令f(x)0，得x3或x1.当x变化时，f(x)变化如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)(13)(13)232.考点二已知函数的极值求参数【例2】 (2018北京卷)设函数f(x)ax2(
6、4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围.解(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.(2)f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值.若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是.规律方法1.已知函数极值，确定函数解析式中的
7、参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.2.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练2】 (2020滨州模拟)已知x1是f(x)x2(a3)x2a3ex的极小值点，则实数a的取值范围是()A.(1，) B.(1，)C.(，1) D.(，1)解析f(x)x2(a1)xaex(xa)(x1)ex.令f(x)0，得(xa)(x1)ex0.设g(x)(x1)(xa).(1)当a1时，g(x)0，f(x)0，f(x)没有极值.(2)当a1时，若xa或x0，f(x)0；若1xa时，g(x)0，则f(x)0.x1是函数f(x)的极
8、大值点，不合题意.(3)当a1或x0，若ax1时，f(x)0.所以x1是f(x)的极小值点，满足题意.综上所述，实数a的取值范围是(，1).答案D考点三利用导数求函数的最值典例迁移【例3】 (2019全国卷)已知函数f(x)2x3ax22.(1)讨论f(x)的单调性；(2)(经典母题)当0a0，则当x(，0)时，f(x)0，当x时，f(x)0，故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减；若a0，则f(x)在(，)单调递增；若a0，当x时，f(x)0，故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减.(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在0，1的最小值为f2，最大
9、值为f(0)2或f(1)4a.于是m2，M所以Mm当0a2时，可知y2a单调递减，所以Mm的取值范围是.当2a3时，y单调递增，所以Mm的取值范围是.综上，Mm的取值范围是.【迁移】 把本例(2)改为“是否存在正实数a，使得f(x)在0，1上的最小值为2，且最大值为2？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由.”解假设存在正实数a，使得f(x)min2，且f(x)max2.若a3时，由例题(1)知，f(x)在0，1上是减函数，当x0，1时，f(x)maxf(0)2，f(x)minf(1)4a.由题意，必有4a2，则a6.若0a3，与0a3矛盾.综上，存在正数a6时，f(x)在0，1的最小值为
10、2，最大值为2.规律方法1.利用导数求函数f(x)在a，b上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个为最大值，较小的一个为最小值.2.研究含参数的最值，必要时要进行分类讨论.如本例迁移中，分类讨论的标准是单调区间的端点与0，1的大小关系，从而确定函数在0，1上的最值.【训练3】 已知函数f(x)axln x，其中a为常数.(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值.解(1)易知f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f
11、(x)xln x，f(x)1，令f(x)0，得x1.当0x0；当x1时，f(x)0.f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数.f(x)maxf(1)1.当a1时，函数f(x)在(0，)上的最大值为1.(2)f(x)a，x(0，e，.若a，则f(x)0，从而f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10，不合题意.若a0得a0，结合x(0，e，解得0x；令f(x)0得a0，结合x(0，e，解得xe.从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，f(x)maxf1ln.令1ln3，得ln2，即ae2.e21时，y0；当x1时，y2时，f(x)0；当x2时，f(x)0；当x2时，
12、f(x)0时，xf(x)0；当2x0时，xf(x)0；当x2或0时，xf(x)0；当x0.因此yxf(x)的图象应为选项C.答案C3.(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，又ex10恒成立，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0；当2x1时，f(x)0，所以x1是函数f(x)的极小值点，则f(x)极小值为f(1)1.答案A4.(2020北京西城区模拟)已知函数f
13、(x)2ef(e)ln x(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为()A.2e1 B. C.1 D.2ln 2解析由题意知f(x)，f(e)，f(e)，f(x)，令f(x)0，得x2e.f(x)在(0，2e)上递增，在(2e，)上递减，f(x)的极大值为f(2e)2ln(2e)22ln 2.答案D5.若函数f(x)x2(a1)xaln x存在唯一的极值，且此极值不小于1，则a的取值范围为()A. B.C. D.(1，0)解析对函数求导f(x)x1a，令f(x)0，解得x1或xa.因为函数f(x)x2(a1)xaln x存在唯一的极值，所以x1，此时a0.所以当x(0，1)时，f(x)0，函
14、数f(x)单调递增，所以f(x)的极小值为f(1)a1a，故f(1)1，即a1，解得a.答案B二、填空题6.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件.解析y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0.故当x3时，该商品的年利润最大.答案37.(2020安徽江南十校联考)已知x1是函数f(x)(x2ax)ex的一个极值点，则曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线斜率为_.解析由f(x)(x2ax)ex，得f(x)(x2ax2xa)ex，因为x1是函数f(x)(x2ax)ex的一个极值点，所以f(1)(3
15、2a)e0，解得a.f(x)ex，所以f(0).所以曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线斜率为.答案8.(2020朝阳区诊断)直线yb分别与直线y2x1和曲线yln x相交于点A，B，则|AB|的最小值为_.解析设两个交点分别为A，B(eb，b)，则|AB|eb.令g(x)ex，则g(x)ex.由g(x)0，得xln 2.所以g(x)在区间(，ln 2)单调递减，在区间(ln 2，)上单调递增，g(x)ming(ln 2)1.答案1三、解答题9.已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)因为f
16、(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减，所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0，所以函数f(x)在区间上单调递减，因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.10.(2020武汉质检)已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数
17、)上的最大值.解(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.B级能力提升11.若函数yf(x)存在n1(nN*)个极值点，则称yf(x)为n折函数，例如f(x)x2为2折函数.已知函数f(x)(x1)exx(x2)2，则f(x)
18、为()A.2折函数 B.3折函数C.4折函数 D.5折函数解析f(x)(x2)ex(x2)(3x2)(x2)(ex3x2)，令f(x)0，得x2或ex3x2.易知x2是f(x)的一个极值点，又ex3x2，结合函数图象，yex与y3x2有两个交点.又e23(2)24.所以函数yf(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数.答案C12.(2020石家庄检测)若函数f(x)(1x)(x2axb)的图象关于点(2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2x1()A. B.2 C.2 D.解析不妨假设点(2，0)在f(x)图象上，则f(2)3(42ab)0，因为函数图象关于点(2，0
19、)对称，且f(1)0，所以f(5)0，即f(5)6(255ab)0，联立解得故f(x)(1x)(x27x10)x36x23x10，则f(x)3x212x33(x24x1)，由于x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点.x1，x2是f(x)的零点，则x1x24，x1x21.从而x10，x2x2.因此x2x12.答案C13.传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm且以每秒1 cm等速率缩短，而长度以每秒20 cm等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm缩到4 cm，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm时其
20、体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为_ cm.解析设神针原来的长度为a cm，t秒时神针的体积为V(t) cm3，则V(t)(12t)2(a20t)，其中0t8，所以V(t)2(12t)(a20t)(12t)220.因为当底面半径为10 cm时其体积最大，所以1012t，解得t2，此时V(2)0，解得a60，所以V(t)(12t)2(6020t)，其中0t8.V(t)60(12t)(2t)，当t(0，2)时，V(t)0，当t(2，8)时，V(t)0，从而V(t)在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V(0)8 640，V(8)3 520，所以当t
21、8时，V(t)有最小值3 520，此时金箍棒的底面半径为4 cm.答案414.(2019北京卷)已知函数f(x)x3x2x.(1)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x2，4时，求证：x6f(x)x.(3)设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间2，4上的最大值为M(a).当M(a)最小时，求a的值.(1)解由f(x)x3x2x，得f(x)x22x1.令f(x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，f，所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与yx，即yx与yx.(2)证明令g(x)f(x)x，x2，4.由g(x)x3x2得g(x)x22x.令g(x)0得
22、x0或x.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：x2(2，0)04g(x)00g(x)600所以g(x)的最小值为6，最大值为0.故6g(x)0，即x6f(x)x.(3)解由第(2)问知，当a3；当a3时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3；当a3时，M(a)3；综上，当M(a)最小时，a3.C级创新猜想15.(多选题)对于函数f(x)，下列说法正确的有()A.f(x)在x1处取得极大值B.f(x)有两个不同的零点C.f(4)f()f(3)D.e22e解析由函数f(x)，可得函数f(x)的导数为f(x).当x1时，f(x)0，f(x)单调递减；当x1时，f(x)0，f(x)单调递增.
23、可得函数f(x)在x1处取得极大值，且为最大值，所以A正确；因为f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且f(0)0，当x0时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)只有一个零点，所以B错误；由f(x)在(1，)上单调递减，且431，可得f(4)f()f(3)，所以C正确；由f(x)在(1，)上单调递减，且21，可得，即e22e，所以D错误.故选AC.答案AC16.(多填题)设函数f(x)(1)若a0，则f(x)的最大值为_；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_.解析(1)若a0，则f(x)当x0时，f(x)2x0；当x0时，f(x)3x233(x1)(x1)，当x0，f(x)是增函数；当1x0时，f(x)0，f(x)是减函数，f(x)f(1)2.f(x)的最大值为2.(2)在同一平面直角坐标系中画出y2x和yx33x的图象，如图所示，当a2时，f(x)maxa33a.综上，当a(，1)时，f(x)无最大值.答案(1)2(2)(，1)