1、课时演练促提升A组1.某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45角,树干也倾斜为与地面成75角,树干底部与树尖着地处相距20 m,则折断点与树干底部的距离是()m.A.2063B.106C.1063D.202解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则ABO=45,AOB=75,OAB=60.由正弦定理知,AOsin45=20sin60,AO=20sin45sin60=2063(m).答案:A2.有一长为10 m的斜坡,它的倾斜角是75,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30,则坡底要延伸()A.5 mB.10 mC.102 mD.103 m解析:如图
2、,在ABC中由正弦定理得BCsin45=10sin30,BC=102(m).答案:C3.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3 h,该船实际航程为()A.215 kmB.6 kmC.221 kmD.8 km解析:如图,|OA|=2,|OB|=4,AOB=120,OAC=60,|OC|=22+42-224cos60=23(km/h).经过3h,该船的航程为233=6(km).答案:B4.甲船在B岛的正南方10 km处,且甲船以4 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时
3、它们航行的时间是()A.1507 minB.157 hC.21.5 minD.2.15 h解析:如图,设经过xh后甲船处于点P处,乙船处于点Q处,两船的距离为s,则在BPQ中,BP=10-4x,BQ=6x,PBQ=120,由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ2-2BPBQcosPBQ,即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)6xcos120=28x2-20x+100.当x=-20228=514时,s最小,此时x=514(h)=1507(min).答案:A5.如图,海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲位于灯塔A的北偏
4、西75方向,与A相距32n mile的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60方向,与B相距5 n mile的C处,则两艘船之间的距离为n mile.解析:连结AC,BC=AB=5,ABC=60,所以ABC为等边三角形,所以AC=5,且DAC=180-75-60=45.在ACD中,由余弦定理得CD2=(32)2+52-2325cos45=13,故两艘船之间的距离为13nmile.答案:136.如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角=60,在塔底C处测得点A的俯角=45.已知塔高60 m,则山高为.解析:在ABC中,BC=60m,BAC=15,ABC=30,由正弦定理,得AC=60s
5、in30sin15=30(6+2)(m).CD=ACsin45=30(3+1)(m).答案:30(3+1)m7.如图,货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110,航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离为.解析:在ABC中,BC=4012=20(km),ABC=140-110=30,ACB=180-140+65=105,A=180-(30+105)=45,由正弦定理,得AC=BCsinABCsinA=20sin30sin45=102(km).答案:
6、102 km8.如图,为测量河对岸A,B两点的距离,在河的这边测出CD的长为32 km,ADB=CDB=30,ACD=60,ACB=45,求A,B两点间的距离.解:在BCD中,CBD=180-30-105=45.由正弦定理,得BCsin30=CDsin45,则BC=CDsin30sin45=64(km).在ACD中,CAD=180-60-60=60,ACD为正三角形,AC=CD=32(km).在ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos45=34+38-2326422=38,AB=64(km).河对岸A,B两点间的距离为64km.9.A,B是海平面上的两个点,相距800
7、m,在点A测得山顶C的仰角为45,BAD=120,又在点B测得ABD=45,其中D是点C到水平面的垂足,求山高CD.解:如图,由于CD平面ABD,CAD=45,所以CD=AD.在ABD中,BDA=180-45-120=15,由ABsin15=ADsin45,得AD=ABsin45sin15=800226-24=800(3+1)(m).CD平面ABD,CAD=45,CD=AD=800(3+1)2186(m).答:山高CD约为2186m.B组1.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30的方向航行30分后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为(
8、)A.20(2+6)海里/时B.20(6-2)海里/时C.20(6+3)海里/时D.20(6-3)海里/时解析:设货轮航行30分后到达N处,由题意可知NMS=45,MNS=105,则MSN=180-105-45=30.而MS=20,在MNS中,由正弦定理得MNsin30=MSsin105,即MN=20sin30sin105=10sin(60+45)=10sin60cos30+cos60sin30=106+24=10(6-2).故货轮的速度为10(6-2)12=20(6-2)(海里/时).答案:B2.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30,向前飞行10 000 m到达B处,
9、此时测得正前下方目标C的俯角为75,这时飞机与地面目标的水平距离为()A.2 500(3-1) mB.5 0002 mC.4 000 mD.4 0002 m解析:如图,BAC=30,DBC=75,AB=10000,ACB=45.由正弦定理,得10000sin45=BCsin30,又cos75=BDBC,BD=10000sin30sin45cos75=2500(3-1)(m).答案:A3.如图,有一广告气球,直径为6 m,放在公司大楼的上空,当行人仰望气球中心时,测得仰角BAC=30,气球的视角=1,若很小时可取sin ,试估算该气球的高BC的值约为()A.72 mB.86 mC.102 mD.
10、118 m解析:如图,过点C作CDAD于点D,在RtADC中,sin=CDAC,AC=CDsin=3sin1803180=1803.在RtABC中,BC=ACsin30=90386(m).答案:B4.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的持续时间为()A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h解析:设th后,B市处于危险区内,则由余弦定理得(20t)2+402-220t40cos45302.化简得4t2-82t+70,t1+t2=22,t1t2=74.从而|t1-t2|=(t1+t2)2
11、-4t1t2=1.答案:B5.如图,为测量坡高MN,选择A和另一个山坡的坡顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角MAN=60,点C的仰角CAB=45及MAC=75,从点C测得MCA=60.已知坡高BC=50 m,则坡高MN= m.解析:在RtABC中,CAB=45,BC=150m,所以AC=502m.在AMC中,MAC=75,MCA=60,从而AMC=45,由正弦定理得,ACsin45=AMsin60,因此AM=503m.在RtMNA中,AM=503m,MAN=60,由MNAM=sin60,得MN=50332=75m.答案:756.如图,某观测站C在城A的南偏西20方向上,从城A出发有一条公路
12、,走向是南偏东40.在C处测得距离C为31千米的公路上的B处有一辆车正沿着公路向城A驶去.该车行驶了20千米后到达D处停下,此时测得C,D两处距离为21千米.(1)求cosCDB的值;(2)此车在D处停下时距城A多少千米?解:(1)在CDB中,由余弦定理得,cosCDB=CD2+BD2-BC22CDBD=212+202-31222120=-17.(2)sinACD=sin(CDB-60)=sinCDBcos60-cosCDBsin60=5314,由正弦定理得,AD=CDsinACDsinCAD=21531432=15,故此车在D处停下时距城A处15千米.7.如图,CM,CN为某公园景观湖畔的两
13、条木栈道,MCN=120.现拟在两条木栈道的A,B两处设置观景台,记BC=a,AC=b,AB=c(单位:百米).(1)若a,b,c成等差数列,且公差为4,求b的值;(2)已知AB=12,记ABC=,试用表示观景路线A-C-B的长,并求观景路线A-C-B长的最大值.解:(1)a,b,c成等差数列,且公差为4,a=b-4,c=b+4,MCN=120,由余弦定理得,(b+4)2=(b-4)2+b2-2b(b-4)cos120,解得b=10.(2)由题意,得ACsin=BCsin(60-)=12sin120,AC=83sin,BC=83sin(60-),观景路线A-C-B的长AC+BC=83sin+83sin(60-)=83sin(60+)(03,所以此时没有触礁的危险.(2)方法一:要使船没有触礁危险,只要使d3,即5tan-tan3.因为00,所以tan-tan53,所以当,满足tan-tan3时没有触礁危险.9