1、7正切函数71正切函数的定义72正切函数的图像与性质73正切函数的诱导公式,1正切函数的定义在直角坐标系中，如果角满足：R，k(kZ)，且角的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角的正切函数，记作ytan_，其中 R，k，kZ根据正切函数与正弦函数、余弦函数的定义可知tan .2正切线(1)定义在直角坐标系中，设单位圆与x轴的非负半轴的交点为A(1，0)，过点A(1，0)作x轴的垂线，与角的终边或其终边的延长线相交于T点，则称线段AT为角的正切线(2)画法3正切函数的图像与性质解析式ytan x图像定义域值域R周期k(kZ，k0)，最小正周期是奇偶性奇函数单调性在开区间(kZ)上都是增
2、函数对称性正切曲线是中心对称图形，其对称中心是(kZ)4.正切函数的诱导公式(1)tan(2)tan_；(1.16)(2)tan()tan_；(1.17)(3)tan(2)tan_；(1.18)(4)tan()tan_；(1.19)(5)tan()tan_；(1.20)(6)tancot ；(1.21)(7)tancot .(1.22)1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数在整个定义域内是增函数()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数()(3)正切函数图像相邻两个对称中心的距离为周期.()(4)函数ytan x为奇函数，故对任意xR都有tan(x)tan x()解析：(1)错
3、误如x1，x2，但tantan，不符合增函数的定义(2)错误正切函数在每个单调区间上都为增函数(3)错误正切函数图像相邻两个对称中心的距离为半周期，故此说法是错误的(4)错误当xk(kZ)时，tan x没有意义，此时式子tan(x)tan x不成立答案：(1)(2)(3)(4)2ytan(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数解析：选A.因为ytan(x)tan x，所以ytan(x)是奇函数3函数f(x)tan的定义域是_，f_解析：由题意知xk(kZ)，即xk(kZ)故定义域为，且ftan.答案：4化简：_解析：原式tan .答案：tan 1对正切函数图像的理解(1
4、)正切函数的图像是由被互相平行的直线xk(kZ)所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线(2)正切函数的图像向上、向下无限延伸，但永远不和xk(kZ)相交，与x轴交于点(k，0)(kZ)(3)正切函数的简图可用“三点两线”画出来，“三点”是指(0，0)，；“两线”是指x和x.作简图时只需先作出一个周期中的两条渐近线x，x，然后描出三点(0，0)，用光滑的曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可注意直线xk，kZ叫作正切曲线的渐近线，正切曲线与渐近线无限接近但不相交2对正切函数的性质的理解(1)正切函数的单调性表现为在每一单调区间内只增不减，这一点必须注意(2)正切函数
5、的图像的对称中心为(kZ)，而不是(k，0)(kZ)，它没有对称轴3对正切函数的诱导公式的理解(1)公式的特点与记忆2，的正切函数值等于的正切函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号为了便于记忆，也可简单地说成“函数名不变，符号看象限”(2)利用“化切为弦”的方法证明正切函数的诱导公式“化切为弦”是指利用tan ，R，且k，kZ，把某角的正切函数值转化为该角正弦函数值与余弦函数值的商，再根据正弦、余弦的有关结论解决问题例如，tan()tan .(3)诱导公式的应用利用诱导公式可把任意角的正切函数转化为锐角三角函数即正切函数的图像求函数f(x)tan |x|的定义域与值域，并作其图像【解】
6、f(x)tan |x|(kZ)，可知，函数的定义域为，值域为R.当x0时，函数ytan |x|在y轴右侧的图像即为ytan x的图像不变；x0时，ytan |x|在y轴左侧的图像为ytan x在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示(实线部分)本例中“函数f(x)tan |x|”若换为“函数f(x)|tan x|”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：函数f(x)|tan x|的定义域是，值域是0，)，图像如图实线部分所示(1)作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0，0)，两线是直线x. (2
7、)如果由yf(x)的图像得到yf(|x|)及y|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出yf(x)(x0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到yf(|x|)(x0)的图像；同理只要做出yf(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y|f(x)|的图像1.(1)函数ysin x与ytan x在区间上的交点个数是()A3B4C5 D6(2)函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间内的图像是如图中的_解析：(1)如图，函数ysin x与ytan x在区间上的交点个数是3.(2)函数ytan xsin x|tan xsin x|答案：(1)A(2)正切函数的性质求函
8、数f(x)tan的定义域、最小正周期和单调区间【解】由题意，知2xk(kZ)，所以x(kZ)，即函数的定义域为.由于f(x)tantanf，所以最小正周期T.因为k2xk(kZ)，所以kxk(kZ)，即函数的递增区间为(kZ)求函数yAtan(x)定义域、周期、单调区间的方法(1)定义域：由xk，kZ，求出x的取值集合即为函数的定义域，即x|x，kZ(2)周期性：利用周期函数的定义来求(3)单调区间：在求函数yAtan(x)(A，为常数，A0)的单调区间时，首先要用诱导公式把x的系数化为正值，再利用整体代换的思想和正切函数的单调性求出单调区间，即由kxk(kZ)，求出x的所在区间即可注意注意A
9、的正负对函数单调性的影响 2.函数f(x)tan(3x)的图像的一个对称中心是，其中0，试求函数f(x)的单调区间解：由于ytan x的对称中心为，kZ，故令3x，其中x，即，由于0，所以当k2时，.故f(x)tan.由于正切函数ytan x在(k，k)(kZ)上为增函数，则令k3xk，解得x，kZ.故该函数的递增区间为(kZ)正切函数诱导公式的应用已知tan(3)，求的值【解】因为tan(3)tan()tan ，所以tan .原式tan .条件求值问题的解题思路解决条件求值问题的基本思路是分别将已知条件和所求问题进行化简，进而寻找已知条件和所求问题间的关系，从而求得结论 3.(1)已知tan
10、()2，则tan()()A2B2C1 D1(2)已知cos，且|，则tan _解析：(1)tan()tan 2，即0，解得tan 1.所以tan()tan 1.(2)因为cossin ，所以sin .因为|，所以，所以tan tantan .答案：(1)D(2)思想方法换元法的应用设函数ytan2x2tan x2，且x，求函数的值域解因为x，所以tan x，1，令tan xt，t，1，则yt22t2(t1)21.当t1时，y取得最小值，为1；当t1时，y取得最大值，为5.所以函数ytan2x2tan x2的值域为1，5(1)三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通
11、过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题(2)利用换元法时，要注意新变量的取值范围，把原变量的范围转化给新变量.1函数y的值域是()A(1，1)B(，1)(1，)C(，1)D(1，)解析：选B.因为x，所以1tan x1，所以(，1)(1，)，故选B.2已知tan5，则tan()A5B5C5 D不能确定解析：选B.tantantan5，故tan5.3函数ytan的单调递增区间是_解析：令kk，kZ，解得2kx2k，kZ.答案：，kZ4若tan x0，则x的取值范围是_解析：由题意，知tan x.由正切函数的图像，知kxk(kZ)答案：, A基础达标1函数y3tan的定义域是()A.
12、 B.C. D.解析：选C.由2xk(kZ)，得x(kZ)2已知函数ytan(2x)的图像过点，则可以是()A BC. D.解析：选B.根据题意可得2k，kZ，所以k，kZ，取k0，则.3函数f(x)|tan 2x|是()A周期为的奇函数 B周期为的偶函数C周期为的奇函数 D周期为的偶函数解析：选D.f(x)|tan(2x)|tan 2x|f(x)为偶函数，T.4函数y3tan的图像的一个对称中心是()A. B.C. D(0，0)解析：选C.因为ytan x的图像的对称中心为，kZ.由x，kZ，得xk，kZ，所以函数y3tan的图像的对称中心是，kZ，令k0，得.5方程tan在区间0，2)上的
13、解的个数是()A5B4 C3D2解析：选B.由tan，得2xk(kZ)，所以x(kZ)，又x0，2)，所以x0，.故选B.6比较大小：tan 211_tan 392.解析：tan 211tan(18031)tan 31.tan 392tan(36032)tan 32，因为tan 31tan 32，所以tan 211tan 392.答案：0)的图像的相邻两支截直线y所得线段长为，则f的值是_解析：由题意知，f(x)tan x(0)的图像的相邻两支截直线y所得线段长为，即T.又因为T，所以，所以4.所以f(x)tan 4x，所以ftantan 0.答案：09化简：.解：原式tan .10(1)求y
14、tan2x4tan x1的值域；(2)若x时，yktan的值总不大于零，求实数k的取值范围解：(1)设ttan x，则yt24t1(t2)255，所以ytan2x4tan x1的值域为5，)(2)由yktan0，得ktantan.因为x，所以2x.由正切函数的单调性，得0tan，所以要使ktan恒成立，只要k0即可所以k的取值范围为(，0B能力提升11已知函数f(x)tan x在区间内是减函数，则的取值范围是()A1，) B(，1C1，0) D(0，1解析：选C.根据题意可知，0且函数f(x)tan x的最小正周期T，所以10，故选C.12已知f(x)asin xbtan x1满足f7，则f_
15、解析：依题意得fasin btan 17，所以asin btan 6，所以fasin btan 1asinbtan1asin btan 11615.答案：513已知函数f(x).(1)求函数的定义域；(2)用定义判断f(x)的奇偶性；(3)在，上作出f(x)的图像；(4)写出f(x)的最小正周期及单调性解：(1)因为由cos x0，得xk(kZ)，所以函数的定义域是.(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称又因为f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(3)f(x)则f(x)在其定义域上的图像如图所示(4)f(x)的最小正周期为2，递增区间是(kZ)，递减区间是(kZ)14(选做题)若x，求函数y2tan x1的最值及相应的x的值解：y2tan x12tan x1tan2x2tan x2(tan x1)21.因为x，所以tan x，1，所以当tan x1，即x时，y取最小值1，当tan x1，即x时，y取最大值5.