1、广东省深圳市四校2019-2020学年高二数学下学期期中联考试题试卷分值：150分 考试时间：120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号、座位号等信息准确填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合（ ）A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数的的虚部是（ ）A. B. C. D. 13. 已知单位
2、向量满足，若，则实数的值为（ ）A. B.-2 C. 2 D. 4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题是（ ）A. ；B. 命题“”的否定是“”；C. “”是“”的充分不必要条件；D. 函数在区间内有且仅有两个零点6已知正项等比数列，若向量，则=（ ）A12 B C5 D187. 若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 68. 下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%净利润占比95.80%-0.48%3.82%0.86%
3、则下列判断中不正确的是（ ）A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低9中，点D在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）A B C6 D810. 已知双曲线：（a0,b0）的左、右焦点分别为,，点为过且斜率为的直线与双曲线的一个交点，且，则的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 11我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的
4、方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术中九章算术商功：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程已知堑堵的内切球（与各面均相切）直径为1，则鳖臑的体积最小值为（ ）A B C D12. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题纸相应位置上.13. 的二项展开式中的常数项为_(用数字作答)14. 已知角的终边与单位圆
5、交于点()，则=_15. A、B、C、D四位同学站成一排照相，则A、B中至少有一人站在两端的概率为_16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值（1）的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2, 1)，B(-2, 4)，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为_；若点Q为抛物线E: y2 =4x上的动点，Q在直线x= -1上的射影为H，则的最小值为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）已知向量，.（1）
6、求的最小正周期；（2）在中，内角，所对的边分别为，且满足，求面积的最大值.18. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为Tn，求T2020.19（本小题满分12分）如图，在四面体中，（1）证明：；ABCD（2）若，四面体的体积为2，求二面角的余弦值20（本小题满分12分）2020年春节期间，随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散，各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应，采取了一系列有效的防控措施。如测量体温、有效隔离等.(1) 现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本。据分析，人群体温近似服从正态分布.
7、若表示所采集100个样本的数值在之外的的个数，求及X的数学期望.(2) 疫情期间，武汉大学中南医院重症监护室（ICU）主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度，现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA美国医学会杂志研究论文中获得相关数据. 请将下列22列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”？无并发症并发症合计非重症38102重症10合计64138附： 若 , 则,，, .参考公式与临界值表：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063
8、.8415.0246.63510.82821. （本小题满分12分）已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线AP、BP、BQ的斜率分别记为（1）求的值； （2）若，求证：，并判断直线PQ是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由22.（本小题满分12分）已知函数，其中.（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）若函数在定义域上有两个极值点，且. 求实数的取值范围； 求证：.深圳市2019-2020学年第二学期期中考试四校联考试题高二年级 数学试题命题人： 审题人： 试卷分值：150分 考试时间：120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班
9、级、准考证号、座位号等信息准确填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，选A.2.若复数满足，则复数的的虚部是（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】由于，则，所以复数的的虚部是-1，故答案选B3.已知单位向量满足，若，则实数的值为（ ）A. B.-2 C. 2 D. 【答案】
10、B【解析】因为，所以，即，解得，故选：B.4.已知，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】b1c0a,故选A5.下列命题中，真命题是（ ）A. ；B. 命题“”的否定是“”；C. “”是“”的充分不必要条件；D. 函数在区间内有且仅有两个零点【答案】C6已知正项等比数列，若向量，则=（ D ）A12 B C5 D18【答案】D【解析】，故选D7. 若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】由题意作出其平面区域，令，化为，相当于直线的纵截距，由图可知，解得，则的最大值是, 故选C8.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占
11、比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%净利润占比95.80%-0.48%3.82%0.86%则下列判断中不正确的是A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B9中，点D在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）A B C6 D8【答案】B【解析】，且三点共线，所以且，则，当且仅当时，取等号，故有最小值，故选B10. 已知双曲线：
12、（a0,b0）的左、右焦点分别为,，点为过且斜率为的直线与双曲线的一个交点，且，则的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】D【解析】由题意，直线过左焦点且倾斜角为，即.，根据双曲线定义有，离心率.故选：D11我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术中九章算术商功：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程已知堑
13、堵的内切球（与各面均相切）直径为1，则鳖臑的体积最小值为（ ）A B C D【答案】A【解析】依题意内切球直径2r=1，则，当且仅当b=c时取等号.鳖臑的体积为当且仅当b=c时，鳖臑的体积最小为, 故选：A12. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，设函数，则，因为是定义在区间上的可导函数，且满足，所以，所以函数在上为增函数，又由，即，即，所以，解得，即不等式的解集为. 故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题纸相应位置上13. 的二项展开式中的常数项为_(用数字作答)【答案】
14、16014已知角的终边与单位圆交于点()，则=_【答案】15. A、B、C、D四位同学站成一排照相，则A、B中至少有一人站在两端的概率为_【答案】【解析】A、B、C、D四位同学站成一排照相，基本事件总数，A、B中至少有一人站在两端包含的基本事件个数20，故A、B两人中至少有一人站在两端的概率 16希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A, B的距离之比为定值（1）的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系xOy中， A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为_；若点
15、Q为抛物线E: y2 =4x上的动点，Q在直线x= -1上的射影为H，则的最小值为 【答案】【解析】三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分10分）已知向量，.（1）求的最小正周期；（2）在中，内角，所对的边分别为，且满足，求面积的最大值.【解析】（1）向量，则 .3分T= . . . . .4分（2）， .7分在DABC中，由余弦定理可得:，即当且仅当时等号成立 . . .9分所以，故DABC面积的最大值为 .10分18. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和Tn，求T
16、2020.【解析】（1）因为数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以 . . .2分当时， . . .3分当时， . . .5分当时，也符合上式所以数列的通项公式 . . .6分（2）由（1）知，. .8分所以数列的前项和 . . . .11分 故. . . .12分19（本小题满分12分）如图，在四面体中，ABCD（1）证明：；（2）若，四面体的体积为2，求二面角的余弦值解：（1）如图，作Rt斜边上的高，连结因为，所以RtRt可得所以平面，于是 （4分）（2）在Rt中，因为，所以，的面积因为平面，四面体的体积，所以，所以平面 （6分）以，为，轴建立空间直角坐标系则，设是平面的法向量，则
17、，即，可取（8分）设是平面的法向量，则，即，可取（10分）因为， （11分）二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为 （12分）20（本小题满分12分）2020年春节期间，随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散，各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应，采取了一系列有效的防控措施。如测量体温、有效隔离等.(1) 现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本。据分析，人群体温近似服从正态分布.若表示所采集100个样本的数值在之外的的个数，求及X的数学期望.(2) 疫情期间，武汉大学中南医院重症监护室（ICU）主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complication
18、s)与重症患者(ICU)有关的可信程度，现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA美国医学会杂志研究论文中获得相关数据. 请将下列22列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”？无并发症并发症合计非重症38102重症10合计64138附： 若 , 则,，, .参考公式与临界值表：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【解析】（1）由已知体温落在之内的概率为，落在之外的概率为 .2分 .4分 . .6分（2）填表如下： .8分无并发症并发症合计非重症6438102重症102636
19、合计7464138 .11分而P(K210.828)=0.001，故由独立性检验的意义可知: 能在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关” . .12分21. （本小题满分12分）已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线AP、BP、BQ的斜率分别记为（1）求的值； （2）若，求证：，并判断直线PQ是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由【解析】（1）设，则，又，则，代入上式，得. .4分（2），又由（1）知，即 .6分设直线的方程为：，设，联立得：，由D0得：，由韦达定理：，.8分，则，即：，所以：，得：或，.11分当时，直线，则直线过B
20、（2，0），不合题意，当时，直线，则直线过定点， 直线PQ是过定点，该定点为 .12分22.（本小题满分12分）已知函数，其中.（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）若函数在定义域上有两个极值点，且. 求实数的取值范围； 求证：.【解析】（1）依题意，故，所以，据题意可知，解得. 所以实数的值为2.3分（2）因为函数在定义域上有两个极值点，且，所以在上有两个根，且，即在上有两个不相等的根.所以解得.当时，若或，函数 在和上单调递增；若，函数在上单调递减，故函数在上有两个极值点，且.所以，实数的取值范围是.7分由可知，是方程的两个不等的实根，所以其中.故，令，其中.故，令，在上单调递增.由于，所以存在常数，使得，即，且当时，上单调递减；当时，在上单调递增，所以当时，的最小值：，又，所以，即，故得证. 12分
