1、吉林省实验中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 5 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先通过运算，化简为，再利用复数的几何意义判断.【详解】因为，所以对应的点位于第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.2.观察下列各图形，其中两个变量具有相关关系的图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图形中点的分布，即可判断是否具有相关关系
2、【详解】由图可知，图中这些点大致分布在一条直线附近，具有线性相关关系；图中这些点大致分布在一条类似二次曲线附近，具有相关关系；而图中这些点分布不均匀，比较分散，不具有相关关系故选：C【点睛】本题主要考查通过散点图判断两个变量是否具有相关关系，意在考查学生识图能力，属于基础题3.函数的导函数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先对函数，然后利用求导公式直接计算即可.【详解】解：因为，所以，故选：A【点睛】此题考查复合函数求导、导数的运算公式，熟记公式是解此题的关键，属于基础题.4.对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：（1）当时，不等式成立.（2）假设当时，不等式成
3、立，当时，.当时，不等式成立，则上述证法（ ）A. 过程全部正确B. 验得不正确C. 归纳假设不正确D. 从到的推理不正确【答案】D【解析】【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论.【详解】在时，没有应用时的假设，即从到的推理不正确.故选：D.【点睛】本题考查数学归纳法，考查对数学归纳法证明过程的理解，属于基础题.5.执行如图所示的程序框图，若输入的值分别是，则输出的值依次为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据流程框图依次运行即可得到答案.【详解】依题，第一步得；第二步，得，所以最后输出的为.故选：A【点睛】本题考查根据流程框图运行结果求输出值，主要考查了赋值，属
4、基础题.6.函数的单调递减区间是A. B. C. D. 【答案】D【解析】 所以单调递减区间是，选D.7.某工厂的每月各项开支与毛利润（单位：万元）之间有如下关系，与的线性回归方程，则（ ）245683040605070A. 17.5B. 17C. 15D. 15.5【答案】A【解析】【分析】根据表中的数据，求得样本中心为，代入回归方程为，即可求解.【详解】由题意，根据表中的数据，可得，即样本中心为，代入与的线性回归方程为，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线的方程必过样本中心这一基本特征是解答的关键，着重考查了计算能力.8.用秦九韶算法计算多项式，
5、当 时的值为（ ）A. 40B. 40C. 80D. 80【答案】D【解析】【分析】利用秦九韶算法即可得出答案.【详解】解：由秦九韶算法可得，当时，可得，故选：D【点睛】此题考查了秦九韶算法，属于基础题.9.为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A. 有1%的人认为该栏目优秀；B. 有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C. 有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D. 没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.【答案】C【解析】【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案【详解】解：表
6、示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，故选：C【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题10.函数的最小值是()A. 22B. 22C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】先将函数变形可得y=（x1）+2，再利用基本不等式可得结论【详解】y=（x1）+2x1，x10（x1）+2（当且仅当x=+1时，取等号）y=2+2故选A【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，属于中档题在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“
7、定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11.已知曲线和曲线围成一个叶形图；则其面积为 （ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.【详解】由题得函数的图像如图所示，联立得交点（1,1）所以叶形图面积为.故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知函数，若，其中，则的最大值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】当时，有唯一解，而，通过变形可得，比较可得，进而得到，运用导数即可求得最大值.【详解】由题意，则，作
8、函数的图象如下：由图可知，当时，有唯一解，故，且，设，则，令，解得，易得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故，即最大值为.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查化简变形能力及数形结合思想，属于中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13.设为虚数单位，如果复数满足，那么的虚部为_.【答案】【解析】【分析】先解方程得，即得z的虚部.【详解】由题得.所以z的虚部为.故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.14.在极坐标系中，极点到直线的距离为_.【答案】【解析】【分析】首先将极坐标化为直角坐标，然后利用点到直线
9、距离公式可得距离.【详解】极坐标方程化为直线方程即：xy20，极点坐标即（0,0），所以距离为：.【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.若关于x的不等式的解集为，则_.【答案】【解析】【分析】利用绝对值的性质解不等式后与已知比较可求得详解】由得，即，所以，解得，所以故答案为：【点睛】本题考查解绝对值不等式，掌握绝对值的性质是解题关键16.曲线上的点到直线的距离的最大值是_【答案】【解析】【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可.【详解】解：曲线表示的方程等价于以下方程， ，画出图象有：故
10、是双曲线与渐近线方程，所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的距离.设直线与曲线相切，联立方程组，化简得：，令，解得.所以切线为：，故两平行线与之间的距离为.所以曲线上的点到直线的距离的最大值是.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题.三、解答题：（本大题共6小题解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求的单调区间【答案】（）；（）单调递增区间为和，单调递减区间为【解析】【分析】（）对函数求导，求出切线斜率，再由点斜式即可得出切线方程；（）根据导函数，解对应的不等式，即可求出单
11、调区间.【详解】（），因此， 所以，曲线在点处的切线方程为，即；（）解不等式，即，即，解得或；解不等式，得，即，解得因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法求函数的单调区间，属于常考题型.18.设（1）解不等式；（2）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）通过讨论的范围去绝对值符号，从而解出不等式（2）恒成立等价于恒成立的问题即可解决【详解】（1）令当时当时当时综上所述（2）恒成立等价于（当且仅当时取等）恒成立【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式以及恒成立的问题，在解绝对值不等
12、式时首先考虑去绝对值符号属于中等题19.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程（2）求曲线与交点的极坐标（）【答案】（1） （2），.【解析】分析】（1）利用 对原方程进行化简，即可求出结果；（2）联立，的直角坐标方程解得交点的直角坐标，在将直角坐标化为极坐标即可.【详解】（1）的极坐标方程为：.（2）的直角坐标方程为：.联立，的直角坐标方程解得交点的直角坐标为和，化为极坐标为，.【点睛】本题主要考查了直角坐标和极坐标的转换，属于基础题.20.在平面直角坐标中，直线的参数方程为（为参数，为常数）以原点为极点，轴正半
13、轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线相交于两点，若，求的值【答案】（），（）【解析】分析】（）直线的参数方程为（为参数，为常数），消去参数得的普通方程，而曲线的极坐标方程可化为，利用可得的直角方程（）利用直线参数方程中参数的几何意义可得【详解】（）直线的参数方程为（为参数，为常数），消去参数得的普通方程为：即 ，即，即故曲线的直角坐标方程为（）法一：将直线的参数方程代入曲线中得，法二：将代入曲线化简得：,【点睛】直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为 （其中为参数），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上
14、线段的长度和、差、积等21.某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：运动达人非运动达人总计男3560女26总计100（1）（i）将列联表补充完整；（ii）据此列联表判断，能否有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？（2）从样本中的运
15、动达人中抽取7人参加“幸运抽奖”活动，通过抽奖共产生2位幸运用户，求这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率.附：【答案】（1）（i）列联表见解析；（ii）没有；（2）.【解析】【分析】（1）（i）根据题意补全列联表；（ii）代入数据计算，对照临界值做出判断即可；（2）由分层抽样方法，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.【详解】（1）（i）运动达人非运动达人总计男352560女142640总计4951100（ii）由列联表得，所以没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”；（2）由列联表知从运动达人中抽取的男用户人数为，女用户人数为，男用户编号，女用户编号，则抽取的两位幸运用户有
16、：，共21种，其中男女各一位的有10种，概率为，所以这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率为.【点睛】本题考查独立性检验及其计算，考查分层抽样，考查古典概率，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.22.己知函数（1）若，求函数的单调递减区间;（2）若关于x的不等式恒成立，求整数 a的最小值:（3）若，正实数满足，证明:【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，注意首先明确定义域，正确求导：因为，所以，由，得，（2）不等式恒成立问题一般利用变量分离法：问题等价于在上恒成立再利用导数求函数最大值，令根为，在上是增函数；在上是减函数，所以整数的最
17、小值为2（3）转化为关于的不等式即可：由，即从而，利用导数求左边函数最小值1，所以，解得试题解析：（1）因为，所以， 1分此时，2分由，得，又，所以所以的单调减区间为 4分（2）方法一：令，所以当时，因，所以所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立 6分当时，令，得所以当时，；当时，因此函数在是增函数，在是减函数故函数的最大值为 8分令，因为，又因为在是减函数所以当时，所以整数的最小值为2 10分方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立，问题等价于在上恒成立令，只要 6分因为，令，得设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为当时，；当时，所以在上是增函数；在上是减函数所以 8分因为，所以，此时，即所以，即整数的最小值为2 10分（3）当时，由，即从而13分令，则由得，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增所以， 15分所以，因此成立 16分考点：利用导数求函数单调区间、函数最值