1、圆锥曲线轨迹方程的求法0603班 杨金梅 指导老师 陈引兰一直以来，圆锥曲线这部分内容都是高考必考内容，作为解析几何中一个重要的部分，在历次考试中也是让相当一部分考生感到棘手。现在，我就圆锥曲线的轨迹方程的问题作一个归纳总结。在一般情况下，我们对于求圆锥曲线的轨迹方程采用的方法有：直接法，定义法，相关点法，参数法。下面就以上几种方法作一下介绍。一、 用直接法求轨迹方程利用动点运动的条件作出等量关系，表示成x,y的等式。例：已知点A(-2,0),B(3,0).动点P(x,y)满足 PA PB =x2,则点P的轨迹是（ ）.A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线解： PA=（-2-x,-y）,
2、PB=(3-x,-y), PA PB=x2则（-2-x）（3-x）+(-y)(-y)=x2 整理得：y2=x+6所以P点的轨迹为抛物线。答案:D.二、 有定义法求轨迹方程根据圆锥曲线的基本定义解题。例：如图，已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上的任意一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹方程（ ） A.+=1B. =1C.+ =1D. - =1解：由于P为AM的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10|OA|=6根据椭圆的定义知:P点轨迹方程为+=1.解答：A三、 用相关点法求轨迹方程当动点
3、M随着已知方程的曲线上另一动点C（x0,y0）运动时，找出点M与点C之间的坐标关系式，用（x,y）表示（x0,y0）再将x0,y0代入已知曲线方程，即可得到点M的轨迹方程。例：如图所示从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y)，点Q的坐标为（x1,y1），则N点的坐标为（2x-x1,2y-y1）.N点在直线x+y=2上，2x-x1+2y-y1=2 又PQ垂直于直线x+y=2,=1即x-y+y1-x1=0 联立得：x1=x+y-1,x2=x+y-1又点Q在双曲线上，x12-y12=1 将x1,x2代入中，得动点P的
4、轨迹方程式为 2x2-2y2-2x+2y-1=0四、 用参数法求轨迹方程 选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标得到动点轨迹的普通方程.例：（04.成都)过抛物线y2=2px(p0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,再以OA,OB为邻边作矩形AOBM,如图,求点M的轨迹方程.解:设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2) OA的斜率为k(显然k0),则OB的斜率为-. OA所在直线方程为y=kx.代入y2=2px得x1=,y1= OB所在直线方程为y=-x,代入y2=2px得x2= 2pk2,y2=-2pk即B(2pk2, -2pk) OB=(2pk2, -2pk),OA=(, )
5、OM= OA+ OB =(+2pk2, -2pk)所以有x=2p(-k)2 +4p, y=2p(-k) 消去(-k)得：y2=2p(x-4p)(p0)即求得M点的轨迹方程。注:在利用参数法求解时,要选择合理的参数,同时要注意参数的取值范围.除上述四种常用求曲线轨迹方程方法外,我们还介绍两种重要的求解方法.一.几何法 二.交轨法1.几何法求解.(利用平面几何或解析几何中的图形性质)例:已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是( ).A.=1(x0)B .+=1(x0)C. =1(y0)D .+=1(y0)解:如图所示,根据
6、题意及抛物线的图形性质有:令焦点为P.则有|BP|=|BE| |AP|=|AG|所以|BP|+|AP|=|BE|+|AG|=2|OF|由|OP|=2知|BP|+|AP|=4=2a所以a=2,方程为+=1且焦点不在AB直线上,所以y 0.解答:D2.用交轨法来求轨迹方程.(一般用于两动曲线交点的轨迹方程,其过程是选出一个适当的参数,求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程)例:如图所示,垂直于x轴的直线交直线交双曲线=1 于MN两点，A1，A2为双曲线的顶点，求直线A1M与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹形状.解:设M(x1,y1)则N（x1,-y1）,P(x,y),A1(-a,0),A2(a,0) 则A1M的方程为y=(x+a), A2N的方程为y=- (x-a)将以上两方程联立得y2=(x2-a2) 由于=1,得+=1当a=b时，点P的轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆.当ab时，点P的轨迹为椭圆.