1、3弧度制1度量角的单位制(1)角度制规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制，叫作角度制(2)单位圆半径为1的圆称为单位圆(3)弧度制当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，称这个常数为该角的弧度数在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角它的单位符号是rad，读作弧度这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制2弧度数与弧长公式(1)符号：一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0(2)公式：如图所示，l、r、分别是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数弧度数公式：|；弧长公式：l|r；这就是说，弧长等于弧所对的圆心角弧度数的
2、绝对值与半径的积3角度制与弧度制的换算(1)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017_45 rad1 rad57.305718(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系度数0153045607590120135150弧度数0度数180210225240270300315330360弧度数24.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式ll|r扇形面积公式SSr2lr注意事项r是扇形的半径，n是圆心角的角度数r是扇形的半径，是圆心角的弧度数，l是弧长显然弧度制下的两个公式在形式上都要简单得多，记忆和应用也就更加
3、方便注意在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”为单位，则应该先化成弧度后再计算1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)1弧度指的是1度的角()(2)周角的大小是2.()(3)弧长为，半径为2的扇形的圆心角是直角()解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径的弧所对的圆心角(2)正确周角的大小是2.(3)正确若弧长为，半径为2，则|，故其圆心角是直角答案：(1)(2)(3)2下列转化结果错误的是()A60化成弧度是B化成度是600C150化成弧度是D.化成度是15解析：选C.对于A，6060；对于B，180600；对于C，150150；对于D，18015.3半径
4、为2，圆心角为的扇形的面积是()A.BC. D.答案：C4若扇形的圆心角为60，半径为1，则扇形的弧长l_解析：因为60，r1，所以l|r.答案：1对弧度制概念的三点说明(1)“1 rad”是指长度等于半径的圆弧所对的圆心角的大小，不是弧长，这个角是固定的，与圆的半径的长度无关(2)引入弧度制后，角的集合与实数建立一一对应关系，我们今后表示角时，多用弧度制表示(3)表示角时就是无理数，它表示一个实数，同1 rad角的大小一样， rad的角表示：长度等于半径的倍的圆弧所对的圆心角，在判断有理数表示角的象限，与比较大小时，有时需要把化为小数2对弧度数计算公式的说明我们常用来求解圆中圆心角所对弧度数
5、，一般来说，在圆中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正数但在平面直角坐标系中，所求的角不一定为正角，所以常常根据需要在角上添加正负号，故这个求弧度数的公式常常记为|.3角度与弧度的区别与联系区别(1)定义不同，大小不同(2)单位不同(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化(3)表示角时，弧度制与角度制不能混用4.角度制与弧度制换算时应注意的四个问题(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写，如果以度()为单位表示角的大
6、小时，度()不能省略不写(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度(3)有些角的弧度数是的整数倍时，如无特别要求，不必把化成小数(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时，除了零角以外，所得的结果都是不同的，二者要注意不能混淆5角度制与弧度制换算的要点角度与弧度的互化将下列角度与弧度进行互化：(1)20；(2)15；(3)；(4).【解】(1)20.(2)1515.(3)180105.(4)396. 角度制与弧度制的互化原则(1)在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式 rad180是关键由它可以得到：度数弧度数，弧度 数度数(2)特殊角的弧度数与角度数对应值今后常用，应熟记(3)在同一个
7、角的表达式中，角度和弧度不能混合使用1.将下列角度与弧度进行互化：(1)10；(2)1030；(3)1.5；(4).解：(1)1010.(2)103010.5.(3)1.51.5.(4)18040.用弧度表示终边相同的角(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02，并判断它是第几象限角？(2)若4，0，且与(1)中的终边相同，求.【解】(1)1 4808102(5)，其中02，因为是第四象限角，所以1 480是第四象限角(2)由题意知：2k2k(kZ)，又因为4，0，所以令k1，2得，1，2.本例(1)中的条件“1 480”若换为“855”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：因为8558
8、5562(3)，所以855与的终边相同又因为是第三象限角，所以855是第三象限角用弧度制表示终边相同角的两个关注点(1)无论用角度制还是用弧度制来度量角，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应(2)用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，注意2k是的偶数倍，而不是的奇数倍 2.(1)把1 125化为2k(kZ，02)的形式是()A6B6C8 D8(2)在0720范围内，找出与角终边相同的角解：(1)选D.因为1 1254360315，315315，所以1 1258.(2)因为18072，所以与角终边相
9、同的角构成集合|72k360，kZ当k0时，72；当k1时，432，所以在0720范围内，与角终边相同的角为72，432.扇形的弧长和面积公式的应用(1)已知扇形的面积为1 cm2，它的周长为4 cm，求它的圆心角(2)已知一扇形的圆心角是72，半径等于20 cm，求扇形的面积【解】(1)设扇形的弧长为l cm，半径为r cm，则l42r.因为S扇形lr，所以(42r)r1.解得r1，l2，所以圆心角的弧度数为|2(rad)(2)设扇形弧长为l cm，因为7272 rad.所以l|r208(cm)，Slr82080(cm2)扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是SlR
10、 R2(其中l是扇形的弧长，是扇形圆心角的弧度数，02)(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解3.已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形圆心角的弧度数为(00，la2r0，所以0r.所以当r时，Smax.此时，la2，所以|2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积取得最大值.分析题目所给的有关信息，以扇形的有关知识为载体，选择函数为模型，将实际问题转化为求函数的最值问题运用二次函数求最值，可更快
11、地解决问题172化为弧度是()ABC D解析：选B.7272.2化为角度为_解析：345.答案：3453设集合M，N|，则MN_解析：由，得k；k0时，|.故选A.5若扇形的半径变为原来的2倍，且弧长也增加到原来的2倍，则()A扇形的圆心角大小不变B扇形的圆心角增大到原来的2倍C扇形的圆心角增大到原来的4倍D扇形的圆心角减小到原来的一半解析：选A.设扇形原来的半径为r，弧长为l，圆心角为，则变化后半径为2r，弧长为2l，圆心角为，所以，即扇形的圆心角大小不变6在2，2内，与的终边相同的角为_解析：与终边相同的角的集合为P，令k1，2，得，.答案：，7在ABC中，若ABC357，则角A，B，C的
12、弧度数分别为_解析：因为ABC，又ABC357，所以A，B，C.答案：，8火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min所走的圆弧长是 m，则这座大钟分针的长度为_ m.解析：因为分针20 min转过的角为，所以由lr，得r0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m.答案：0.59.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判断2 016是不是这个集合的元素解：因为150，所以终边落在阴影区域内角的集合为S.因为2 016216536010.又0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？(2)如图，已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.求(AOB)所在的扇形的弧长l及弧所在的
13、弓形的面积S.解：(1)扇形周长c2Rl2RR，所以，所以S扇R2R2(c2R)RR2cR(R)2.当且仅当R，即2时，扇形面积最大，且最大面积是.(2)由O的半径r10AB，知AOB是等边三角形，所以AOB60.所以弧长lr10，所以S扇形lr10，而SAOBAB5105，所以SS扇形SAOB50.B能力提升11集合中角的终边所在的范围(阴影部分)是()解析：选C.当k2m，mZ时，2m2m，mZ；当k2m1，mZ时，2m2m，mZ，所以选C.12扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为_解析：如图，设内切圆半径为r，则r，所以S圆，S扇a2，所以.答案：2313已知80
14、0.(1)把改写成2k(kZ，02)的形式，并指出是第几象限角；(2)求，使与的终边相同，且.解：(1)因为8003360280，280，所以800(3)2.因为与角的终边相同，所以是第四象限角(2)因为与终边相同的角可写为2k，kZ的形式，而与的终边相同，所以2k，kZ.又，所以2k，kZ，解得k1，所以2.14.(选做题)如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则tt2.解得t4，所以P，Q第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P已经运动到角4的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角的终边与圆交点的位置，所以点P走过的弧长为4，点Q走过的弧长为44.