1、第1章 导数及应用 1.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 内容：基本初等函数的导数公式及导 数的运算法则 应用 求函数的导数 函数的导数在生活中的应用 求复合函数的导数 本课主要学习基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.以分形与函数的动画为引子，在复习导数的几何意义、四种常见函数的导数的基础之上，学习基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的基础上将导数的计算研究得更深入，虽然基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题，但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及，平时研究的函
2、数不会仅限于基本初等函数，因此我们要想将问题研究得更加透彻，就得继续研究导数层层深入，由易到难，探讨什么是复合函数、复合函数的构成及复合函数的求导法则等 为了巩固新知识，探究了4个例题，采用例题与变式训练相结合的方法，一例一练。本课内容是导数的关键部分，对后面更深地研究导数起着至关重要的作用。为此，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。1.导数的几何意义?导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率.2.导数的物理意义?导数的物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.3.导函数的求解公式是什么？导函数的求解公式是：.0limxf xxf xfxyx 分形与函数 函数导数4.四
3、种常见函数的导数及应用：yx1y 2yx2yx 1yx21yx yx12yx 上述四个函数是哪类初等函数？导数有什么规律？思考nyx1nynx 幂函数基本初等函数的导数公式 1(),()f xcfx、若则 2(),()nf xxf x、若则 3()sin,()f xxfx、若则 4()cos,()f xxfx、若则 01nn xcos xsinx5(),()xf xafx、若则 6(),()xf xefx、若则 7()log,()xaf xfx、若则 8()ln,()f xxfx、若则 lnxaaxe1lnxa1x常函数幂函数三角函数指数函数对数函数)1,0(aaayx)(*Qxy)1,0(l
4、n)(aaaaayxx).()(*1Qxxy.sin)(cos,cos)(sinxxyxxya 几个基本初等函数的导数的区别（1）注意区别与的导数的区别：xysinxycos（2）与导数的区别与联系：（3）以e为底的指数函数的导数是其本身，以e的对数函数的导数是反比例函数（这有点特殊）；（5）要特别注意指数函数、对数函数的求导中，以e为底的是以为底的特例.aln a（4）以为底的指数函数或对数函数的导数较为难记，要格外注意它们都有这个部分，只是对数函数的导数中在分母上；ln a9.(1)(2)5 (3)sin (4)()2【例1】用导数公式求下列函数的导数xyxyyf xx81344(1)9
5、(2)5 ln51(3)0 (4)()4答案：xyxyyyxx20652.(1)(2)log 1(3)cos (4)变式练习1:求下列函数的导数yxyxyxyx1927551(1)20 (2)ln 62(3)sin (4)()5答案：yxyxyxyxx0002205%()(1 5%).0110.0【例】假设某国家在年期间的通货膨胀率为。物价（单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系:其中 为时的物价。假定某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0 1）tpp tpptp0()1.05ln1.05解由导数公式：tp tp10(10)1.05 ln1.05p0.08
6、(元/年）10.0答:在第 个年头,这种商品的价格约以0 8元/年的速度上涨。0510变式练习2：若某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？p0()1.05ln1.05,tp tp提示：(10)5 0.080.4 p导数的运算法则 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:由法则2:【例3】求下列函数的导数：323(1)y
7、xxsin 2(2)yxx1(3)yx1ln(4)xyx332(1)(23)()(2)(3)32因为解：yxxxxx322332所以，函数的导数是 yxxyx(2)sin22sincosyxxx(2sincos)2(sincossin cos)yxxxxxx222(cossin)2cos2xxxsin 22cos2所以，函数的导数是y=yxx2(1)(1)(1)(1)(3)(1)xxxxyx22(x1)2121(1)所以，函数的导数是xyyxx2(ln)(ln)()(4)xxxxyx21 ln xx2ln1 ln所以，函数的导数是xxyyxx322.(1)2 (2)234 (3)3cos4si
8、nln(4)ln (5)(6)32变式练习3:求下列函数的导数xxxxyeyxxyxxxxyxxyyeex23(1)266 1(3)3sin4cos(4)112ln(5)3(1ln3)2ln 2答案：；(2)；(6)xxxxyeyxxyxxyxxxyyexln2?yx如何求函数的导数呢.,22ln2ln.ln,22的函数表示为自变量可以通过中间变量即的得到复合经过和看成是由可以从而则若设xuyxxuuyxyuyxxu .2ln,xxgfufyxguxuufyuy过程可表示为复合那么这个的关系记作和的关系记作与如果把.,3232,22等等而成复合和由函数例如得到的复合经过可以看成是由两个函数我们
9、遇到的许多函数都xuuyxy .),(,xgfyctionfuncompositexguufyxyuxguufy记作的和那么称这个函数为函数的函数可以表示成如果通过变量和对于两个函数一般地复合函数 .,xuxuyyxguufyxgfy导数间的关系为的的导数和函数复合函数.的导数的乘积对的导数与对的导数等于对即xuuyxy.2333123ln,23ln23ln,xuxuuyyxxuuuyxxyxux即的导数的乘积对导数与的对的导数等于对由此可得xy 表示y对x的导数 .,sin3;2;3214105.02均为常数其中求下列函数的导数例 xyeyxyx.3232132的复合函数和可以看作函数函数解
10、xuuyxyxuxuyy 232 xu.1284xu.105.02105.0的复合函数和可以看作函数函数xueyeyux由复合函数求导法则有xuxuyy 105.0 xeu.05.005.0105.0 xuee.sinsin3的复合函数和可以看作函数函数xuuyxy由复合函数求导法则有xuxuyy sin xu.coscosxu变式练习 4 求下列函数的导数(1)yln 1x；(2)ye3x；(3)y5log2(2x1)解(1)函数yln 1x 可以看成函数yln u和函数u1x的复合函数yxyuux(ln u)(1x)1u(1x2)1x.(2)函数ye3x可以看成函数yeu和函数u3x的复合
11、函数yxyuux(eu)(3x)3eu3e3x.yxyuux5(log2u)(2x1)10uln 2102x1ln 2.(3)函数y5log2(2x1)可以看成函数y5log2u和函数u2x1的复合函数 1知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则；2思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想.（一）书面作业 必做题P18 习题1.2 A组5,6,7题B组 2题选做题21.1=_;3.cos_;2.ln.(1)(2)1.的图象与直线相切，则已知的导数是函数求这个函数的导数；求这个函数在点处得函数切线方程xyayxyxxxxyxa32()(1,(1)670.(二)课外思考：1.已知函数的图象过点P(
12、0,2)，且在点处的切线方程为，求函数的解析式f xxbxaxdMfxy2.()sin12210f xxxxaxya 若曲线在处得切线与直线相互垂直，求实数 的值.()sincos,解：因为 fxxxx()sincos12222所以 f210,2又直线的斜率为 aaxy1()1,2所以，根据题意得 a2.解得 a5.yx3.已知曲线42 xy)5,0(P求曲线上与直线平行的切线的方程；求过点且与曲线相切的切线的方程解：设切点为.),(00 yx0055|.2由，得x xyxyx00024525252,.1642因为切线与直线平行，所以所以yxxyx25252(),416168250.故所求切线的方程为即yxxyP(0,5)因为点不在曲线上5yx5(,).2故设切点为，则切线斜率为M m nm5又因为切线的斜率为，nm5555,222,所以所以nmmmmmmm4.解得m55(0)2 4所以切线的方程为 yx54200.即xy