1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时函数的最大值、最小值函数的最大值和最小值(1)定义：条件设yf(x)的定义域为A，如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有前提f(x)f(x0)f(x)f(x0)结论称f(x0)为yf(x)的最大值，记为ymaxf(x0)称f(x0)为yf(x)的最小值，记为yminf(x0)(2)本质：函数图象上最高点的纵坐标即为最大值；最低点的纵坐标即为最小值(3)应用：求函数的值域，参数的范围，解决实际问题1函数f(x)x23x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大
2、值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值【解析】选D.f(x)x23x是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x，则函数f(x)在(1，1)上单调递减，所以函数f(x)x23x(|x|1)既无最大值，也无最小值2函数y在区间2，6上的最大值、最小值分别是()A1， B，1 C， D，【解析】选A.因为y在区间2，6上单调递减，所以当x2时取最大值y1；当x6时取最小值y.3函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为()Af，f Bf(0)，fCf，f(0) Df(0)，f(3)【解析】选B.观察函数图象， f(x)最大值、最小值分别为f(0), f.4函数y的最大值是()A
3、3 B4 C5 D6【解析】选B.函数y的图象如图所示：由图象可得函数y的最大值是4.5函数f(x)的定义域是(，1)2，5)，则其值域是_【解析】函数f(x)在(，1)上是减函数，在(1，)上也是减函数，而x(，1)2，5)，所以y(，0).答案：(，0)6已知函数f(x)(1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图象(2)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值【解析】(1)由题意知，当x1，2时，f(x)x23，为二次函数的一部分；当x(2，5时，f(x)x3，为一次函数的一部分；所以，函数f(x)的图象如图所示(2)由图象可知，当x0时，f(x)有最大值3；当x2时，f(x)min1.
4、一、单选题1(2021太原高一检测)下列函数在1，4上最大值为3的是()Ay2 By3x2Cyx2 Dy1x【解析】选A.B，C在1，4上均为增函数，A，D在1，4上均为减函数，代入端点值，即可求得最值2函数f(x)的最大值是()A B C D【解析】选D.令t1x(1x)，所以0f(x)，即f(x)的最大值为.3函数f(x)x在上的最大值是()A BC2 D2【解析】选A.因为f(x)x在上单调递减，所以f(x)maxf(2)2.4当0x2时，ax22x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)【解析】选C.令f(x)x22x，则f(x)x22x(x1)21.又
5、因为x0，2，所以f(x)minf(0)f(2)0.所以a0.5函数f(x)则f(x)的最大值、最小值分别为()A10，6 B10，8C8，6 D以上都不对【解析】选A.当1x1时，6x70时，f(x)的最小值为f(1)2，当x0时，f(x)的最小值为f(0)a.若f(0)是f(x)的最小值，则a2.二、多选题7已知函数f(x)，x8，4)，则下列说法正确的是()Af(x)有最大值Bf(x)有最小值为C无最小值Df(x)有最大值2【解析】选AC.f(x)2，它在8，4)上单调递减，因此有最大值f(8)，无最小值8已知函数f(x)x22x2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是()
6、Af(x)在区间1，0上的最小值为1Bf(x)在区间1，2上既有最小值，又有最大值Cf(x)在区间2，3上有最小值2，最大值5D当0a1时，f(x)在区间0，a上的最小值为1【解析】选BCD.函数f(x)x22x2(x1)21的图象开口向上，对称轴为直线x1.在选项A中，因为f(x)在区间1，0上单调递减，所以f(x)在区间1，0上的最小值为f(0)2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间1，1上单调递减，在1，2上单调递增，所以f(x)在区间1，2上的最小值为f(1)1，又因为f(1)5，f(2)2，f(1)f(2)，所以f(x)在区间1，2上的最大值为f(1)5，B正确；在选项C中，因为
7、f(x)在区间2，3上单调递增，所以f(x)在区间2，3上的最小值为f(2)2，最大值为f(3)5，C正确；在选项D中，当0a1时，f(x)在区间0，a上的最小值为1，D正确三、填空题9函数f(x)2x的最小值为_【解析】因为f(x)222，所以f(x)minf.答案：10对于函数f(x)，在使f(x)M恒成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界，则对于aR，f(a)a24a6的下确界为_【解析】f(a)a24a6，f(a)M，即f(a)minM.而f(a)(a2)22，所以f(a)minf(2)2.所以M2.所以Mmax2.答案：2四、解答题11已知函数f(x)x
8、2.求函数f(x)在区间3，1上的最值【解析】设x1，x2是3，1上的任意两个值，且x1x2，f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)，又由3x1x21，得x1x20，6x1x22，4(x11)(x21)，则函数f(x)x2|xa|的最小值是()Aa21 BaCa Da【解析】选D.函数f(x)x2|xa|当xa时，函数f(x)x2xa的对称轴方程为x，函数在a，)上是增函数，其最小值为a2；当xa时，f(x)x2xa的对称轴方程为x，当x时函数求得最小值为a.因为a2a2a0.所以a2a.所以函数f(x)x2|xa|的最小值是a.2对任意xR，函数f(x)表示x3，x，x24x3中的最大
9、者，则f(x)的最小值为()A2 B3 C4 D5【解析】选A.分别作出yx3，yx，yx24x3的图象如图(阴影部分边界对应的曲线为ABCDE)，则由图象可知函数f(x)在C处取得最小值，由得即f(x)的最小值为2.二、多选题3下列关于函数yax1，x0，2的说法正确的是()A当a0时，此函数的最大值为1，最小值为2a1B当a0时，此函数的最大值为2a1，最小值为1C当a0时，此函数的最大值为1，最小值为2a1D当a0时，此函数的最大值为2a1，最小值为1【解析】选AD.当a0时，函数yax1在区间0，2上是减函数，当x0时，函数取得最大值为1；当x2时，函数取得最小值为2a1.当a0时，函
10、数yax1在区间0，2上是增函数，当x0时，函数取得最小值为1，当x2时，函数取得最大值为2a1.三、填空题4函数f(x)的最大值为_【解析】当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1，所以1，求y3f(x)2g(x)的最小值【解析】(1)当x时，由f(x)g(x)，得(2x1)(x1)3，解得x2.当x时，由f(x)g(x)，得(2x1)(x1)3，解得x.所以不等式f(x)g(x)的解集为x|，所以3f(x)2g(x)21215，当且仅当49，即x2(负值舍去)时取等号，故当x时，函数y3f(x)2g(x)的最小值为5.9已知函数f(x)ax22x
11、c(a，cN*)，满足：f(1)5；6f(2)11.(1)求a，c的值(2)设g(x)f(x)2x3|x1|，求g(x)的最小值【解析】(1)f(1)a2c5，f(2)4a4c(6，11)，所以c52a3a，所以4a43a3a7(6，11)，所以a，又aN*，所以a1，c2.(2)因为f(x)x22x2，所以g(x)f(x)2x3|x1|x22x22x3|x1|x2|x1|1，当x1时，g(x)x2x2，此时g(x)在1，)上是增函数，所以g(x)ming(1)1120，当x1时，g(x)x2x，g(x)在上是减函数，在上是增函数，所以g(x)ming，又1的解集为()A(1，1)B(，1)(
12、1，)C(1，3)D(，1)(3，)【解析】选D.据题意知，f(0)1，f(2)1，因为f(x)是R上的单调函数，所以f(x)在R上单调递减，所以由|f(x1)|1得，f(x1)f(0)，所以x12或x13或x1，所以原不等式的解集为(，1)(3，).3设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不能确定【解析】选D.由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调
13、区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定4函数y的单调减区间是()A(，1)，(1，)B(，1)(1，)CxR|x1DR【解析】选A. 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当5定义在(0，)上的函数f(x)满足：对于定义域上的任意x1，x2，当x1x2时，恒有0，则称函数f(x)为“理想函数”给出下列四个定义域为(0，)的函数：f(x)1；f(x)x2；f(x)；f(x)x2x；能被称为“理想函数”的有_个()A0 B1 C2 D3【解析】选C.依题意，定义在(0，)上的函数f(x)满足：对于定义域上的任意x1，x2，当x1x2时，恒有0，不妨设x1x
14、20，可得x2f(x1)x1f(x2)0，即x2f(x1)x1f(x2)，即，所以函数y在(0，)上单调递增即f(x)为“理想函数”的等价条件是函数y在(0，)上单调递增y(x0)在(0，)上单调递减，不符合；yx(x0)在(0，)上单调递增，符合；y(x0)在(0，)上单调递减，不符合；yx1(x0)在(0，)上单调递增，符合综上所述，符合题意6(2021济南高一检测)已知函数f(x)若f(a24)f(3a)，则实数a的取值范围是()A(4，1)B(，4)(1，)C(1，4)D(，1)(4，)【解析】选D.作出f(x)的图象如图，可知f(x)在R上单调递增，若f(a24)f(3a)，则a24
15、3a，解可得a4或a1.7(多选)(2021镇江高一检测)已知函数f(x)，对于任意x时下列说法正确的是()A函数最小值为7B函数最小值为C函数最大值为7D没有最大值【解析】选AD.由题意可知，f(x)x3，由对勾函数可知，函数f(x)在上单调递减，在2，)上单调递增，所以当x2时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(2)7，没有最大值8(多选)下列结论正确的是()Ay在定义域内不是单调递减函数B若f(x)在区间0，2上满足f(0)f(2)，则f(x)在0，2上是单调递增的C若f(x)在区间0，3上单调递减，则f(x)在(1，2)上单调递减D若f(x)在区间(1，2)，2，3上分别单调递减，则
16、f(x)在(1，3上单调递减【解析】选AC.选项A，y在(，0)，(0，)上分别单调递减，但在定义域内不是单调递减函数，故A正确；选项B，如函数yx(x1)满足f(0)f(2)，但在0，2上不是单调递增，故B不正确；选项C，(1，2)0，3，故C正确；选项D，如函数y在区间(1，2)，2，3上分别单调递减，但在(1，3上不单调递减，故D不正确9(多选)已知f(x)是定义在R上的增函数，则下列结论中不正确的是()Ayf(x)2是增函数By(f(x)0)是减函数Cyf(x)是减函数Dy|f(x)|是增函数【解析】选ABD.设f(x)x，在R上递增对于A选项，yx2在(，0)上递减，故A选项结论错误
17、对于B选项，y在(，0)和(0，)上递减，但不能说y是减函数，故B选项结论错误对于C选项，yx是减函数证明一般性：由于f(x)是定义在R上的增函数，根据复合函数单调性同增异减可知yf(x)是R上的减函数故C选项结论正确对于D选项，y|x|在(，0)上递减，故D选项结论错误二、填空题(每小题5分，共15分)10已知函数f(x)则f(x)的单调递增区间是_【解析】当x0时，f(x)x21在0，)上单调递增，且f(0)1，当x0时，f(x)x21在(，0)上单调递增，且x0时，f(0)1，所以函数f(x)在(，)上单调递增答案：(，)11当x(1，2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_
18、【解析】设f(x)x2mx4，则f(x)图象开口向上，对称轴为x.(1)当1时，即m2时，满足f(2)42m40，所以m4，又m2，所以此时无解(2)当2，即m4时，需满足f(1)1m40，所以m5，又m4，所以m5.(3)当12，即4m2时，需满足此时无解综上所述，m5.答案：m512已知f(x)是定义在(，0上的增函数，且f(2)3，则满足f(2x3)3的x的取值范围是_【解析】由题意知，f(2x3)f(2)，因为f(x)在(，0上是增函数，则2x32，解得x.答案：x三、解答题(每小题10分，共40分)13已知函数f(x)4x2mx1在(，2)上递减，在2，)上递增，求f(x)在1，2上
19、的值域【解析】因为f(x)在(，2)上递减，在2，)上递增，所以函数f(x)4x2mx1的对称轴x2，即m16.又1，22，)，且f(x)在2，)上递增所以f(x)在1，2上递增，所以当x1时，f(x)取得最小值f(1)4m121；当x2时，f(x)取得最大值f(2)162m149.所以f(x)在1，2上的值域为21，49.14已知函数f(x)x2ax1，x2，4.(1)若函数f(x)在定义域内是单调函数，求a的取值范围；(2)当a1时，求函数f(x)的最大值；(3)对a分类讨论，求函数f(x)的最小值g(a)的表达式【解析】(1)由题意知，函数对称轴为xa，因为f(x)在定义域内是单调函数，
20、所以对称轴xa(2，4)，即a2或a4.(2)当a1时，f(x)x2x1，对称轴x1，则函数在定义域内先减后增，因为f(2)3，f(4)3，所以当x2或4时，函数有最大值为3.(3)当a2时，此时函数在2，4上单调递增，当x2时，f(x)min2a1；当2a1).(1)若f(x)的定义域和值域均为1，a，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(，2上单调递减，且对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，求实数a的取值范围【解析】 (1)因为f(x)(xa)25a2(a1)，所以f(x)在1，a上单调递减又因为f(x)的定义域和值域均为1，a，所以即解得a2.(2)因为f(x)在
21、区间(，2上单调递减，所以a2，又因为xa1，a1，且(a1)aa1，所以f(x)maxf(1)62a，f(x)minf(a)5a2，因为对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，所以f(x)maxf(x)min4，即(62a)(5a2)4，解得1a3.又因为a2，所以2a3.16已知a1，若函数f(x)ax22x1在区间1，3上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)M(a)N(a).(1)求g(a)的函数解析式；(2)求函数g(a)的单调增区间与单调减区间，并求出g(a)的最小值【解析】(1)因为a1，所以f(x)的图象为开口向上的抛物线，且对称轴x1，3，所以f(x)有最小值N(a)1.当23时，a，f(x)有最大值M(a)f(1)a1；当10，所以g(a1)g(a2)，所以g(a)在上单调递减设a1a21，则g(a1)g(a2)(a1a2)0，所以g(a1)g(a2)，所以g(a)在上单调递增所以当a时，g(a)有最小值.关闭Word文档返回原板块28