1、专题六 概率与统计 题型 1 概率与统计概率与统计的综合题，自从 2005 年走进新高考试题中，就以崭新的姿态，在高考中占有极其重要的地位，每年出现一道大题(都有一定的命题背景，其地位相当于原来的应用题).连续多年都为一题多问，前面考统计，后面考概率，预计这一趋势2017 年在高考中会得到延续！组号分组频数14,5)225,6)836,7)747,83例 1：(2015 年福建)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标.根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结
2、果如下表.(1)现从融合指数在4,5)和 7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在 7,8的概率；(2)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.解：方法一，(1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为1，2，3；融合指数在4,5)内的“省级卫视新闻台”记为1，2.从融合指数在4，5 和7，8 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是：1，2，1，3，2，3，1，1，1，2，2，1，2，2，3，1，3，2，1，2，共 10 个.其中，至少有 1 家融合指数在7，8 内的基本事件是：1，2，1，3，2，3，1
3、，1，1，2，2，1，2，2，3，1，3，2，共 9 个.所以所求的概率 p 910.(2)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5 2205.5 8206.5 7207.5 3206.05.方法二，(1)融合指数在7，8 内的“省级卫视新闻台”记为1，2，3；融合指数在4，5 内的“省级卫视新闻台”记为 1，2.从融合指数在4，5 和7，8 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是：1，2，1，3，2，3，1，1，1，2，2，1，2，2，3，1，3，2，1，2，共 10 个.(2)同方法一.【规律方法】对于古典概型，是高考中的常考知识点，难度不高，复习的时候我
4、们只需稍加留意，掌握方法就可以轻易拿下.解决古典概型的一种有效的方法是列举法，而利用列举法解题要做到不重不漏.其中，没有 1 家融合指数在7，8 内的基本事件是：1，2，共 1 个.所以所求的概率 p1 110 910.【互动探究】1.(2014 年广东湛江一模)某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生都参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为 100 分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图 6-1)解决下列问题：图 6-1组别分组频数频率第 1 组50,60)80.16第 2 组60,70)a第 3
5、组70,80)200.40第 4 组80,90)0.08第 5 组90,1002b合计(1)写出 a，b，x，y 的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.)求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率；)求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率.解：(1)由题意知，样本总人数为 80.1650.b 2500.04.a16，b0.04，x0.032，y0.004.(2)由题意可知，第 4 组共有 4 人，记为 A，B，C，D，第 5 组共有 2 人，记为 X，Y.从竞赛成绩是 80 分以上
6、(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名 同学有AB，AC，AD，AX，AY，BC，BD，BX，BY，CD，CX，CY，DX，DY，XY，共 15 种情况.设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E，有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共9 种情况.所以 P(E)9 315 5)设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F，有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY，共 7 种情况.所以 P(F)715.题型 2 线性回归分析例 2：(2014 年广东深圳一模)一次考试中，5 名学生的数学、物理成绩如下表所示：(1)要从 5 名学生中选
7、2 名学生参加一项活动，求选中的学生中至少有 1 名学生的物理成绩高于 90 分的概率；(2)请在所给的平面直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程学生A1A2A3A4A5数学/x分8991939597物理/y分8789899293ybxa.解：(1)从 5 名学生中任取 2 名学生的所有情况为：(A4，A5)，(A4，A1)，(A4，A2)，(A4，A3)，(A5，A1)，(A5，A2)，(A5，A3)，(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共10 种情况.其中至少有 1 人物理成绩高于 90 分的情况有：(A4，A5)，(A4，A1)，(A4，A2)，(A4，A3
8、)，(A5，A1)，(A5，A2)，(A5，A3)，共 7 种情况，故上述抽取的 5 人中选 2 人，选中的学生中至少有 1 名学生的物理成绩高于 90 分的概率 p710.(2)散点图如图 6-2.图 6-2可求得 x8991939597593，y8789899293590，【规律方法】(1)本题主要考查古典概型和线性回归方程等知识，考查学生的数据处理能力和应用意识.(2)要按照求线性回归方程的步骤解题，以免出错.51(i xi x)(yi y)30，51(i xi x)2(4)2(2)202224240，b30400.75，a yb x20.25.故 y 关于 x 的线性回归方程是y0.7
9、5x20.25.时间 x/时12345命中率 y0.40.50.60.60.4【互动探究】2.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位：时)与当天投篮命中率 y 之间的关系：小李这 5 天的平均投篮命中率为_；用线性回归分析的方法，预测小李该月 6号打6小时篮球的投篮命中率为_.解析：由题意，得小李这 5 天的平均投篮命中率为答案：0.5 0.53y15(0.40.50.60.60.4)0.5，x3，b121()()()niiiniixxyyxx 0.2000.10.22212012220.01，a yb x0.47.
10、线性回归方程为y0.01x0.47，则当x6 时，y0.53.预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 0.53.题型 3 独立性检验独立性检验是新课标增加的内容，虽然全国各省的试卷多次以解答题形式考查，体现新课程的理念，因此我们在备考时也应该引起足够的重视.例 3：(2013 年福建)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人300 名，25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组，再将两
11、组工人的日平均生产件数分成 5 组：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100)分别加以统计，得到如图 6-3 所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2人，求至少抽到 1 名“25 周岁以下组”工人的频率；(2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成 22 的列联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？图 6-3附：K2nadbc2abcdacbdP(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828解：(1)由已知
12、得，样本中“25 周岁以上组”的工人有 60名，“25 周岁以下组”的工人有 40 名，所以样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周岁以上组工人有 600.053(人)，记为 A1，A2，A3，25 周岁以下组工人有 400.052(人)，记为 B1，B2.从中随机抽取 2 名工人，所有可能的结果共有10 种，他们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2).其中，至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有7 种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(
13、A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2).故所求的概率为p.710组名生产能手非生产能手合计25 周岁以上组15456025 周岁以下组152540合计3070100(2)由频率分布直方图可知，在抽取的 100 名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手 600.2515(人)，“25 周岁以下组”中的生产能手 400.37515(人)，据此可得 22 列联表如下：因为 1.786k0的 k0 作为拒绝域的临界值.【互动探究】3.(2014 年广东深圳一模)某企业通过调查问卷(满分 50 分)的形式对本企业 900 名员工的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中
14、 30 名员工(16 名女员工，14 名男员工)的得分，如下表：(1)根据以上数据，估计该企业得分大于 45 分的员工人数；(2)现用计算器求得这 30 名员工的平均得分为 40.5 分，若规定大于平均得分为满意，否则为“不满意”，请完成下列表格：项目“满意”的人数“不满意”人数合计女16男14合计30(3)根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：P(K2k0)0.100.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828项目“满意”的人数“不满意”人数合计女12416男31114合计151530解：(1)从表中可知，30 名员工中有 8 名得分大于 45 分，所以任选 1 名员工，它的得分大于 45 分的概率是 830 415.所以估计此次调查中，该单位共有 900 415240 名员工的得分大于 45 分.(2)完成下列表格：1521614(3)假设 H0：性别与工作是否满意无关.根据表中数据，求得 K2 的观测值K23012113428.5716.635.查表得 P(K26.635)0.010.能在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关.