1、1.5.1 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 内容：应用 求曲边梯形的面积四个步骤“以直代曲”和“无限逼近”思想 niinfnabS1lim 本课主要学习曲边梯形面积的求法及“以直代曲”和“无限逼近”思想。以金门大桥的图片引入新课。给出了曲边梯形的定义，体会割圆术的基本思想。通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤:分割近似代替求和取极限。在求曲边梯形面积的过程中，通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想.通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。本课属于概念课，通过探索求曲边梯形面积的四个步骤，深入理解“分割、以曲代直、求和、逼近”的思想。本课在讲了
2、一个经典案例之后给出一个课堂检测，巩固曲边梯形面积的求法。金门大桥（美国）微积分在几何上有两个基本问题:1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。xy0 xy0 xyo直线几条线段连成的折线曲线？和曲线所围成的图形称为曲边梯形.曲边梯形的定义：由直线 0),(,ybabxax)(xfy 概念形成 看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？BxAoyBxAoy思维导航不规则的几何图形可以分割成 若干个规则的几何图形来求解 魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?思维导
3、航-割圆术 魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽的这种研究方法 对你有什么启示?“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：刘徽在九章算术注中讲到 刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?以“直”代“曲”无限逼近 案例探究 2xy 1 xyo如何求由直线与抛物线所围成的平面图形的面积 S？2xy 0,1,0yxx思考1：怎样“以直代曲”？能整体以“直”代“曲吗？思考2：怎样分割最简单？xyO1方案1方案2方案3为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用“直边”
4、代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲”.y=f(x)baxyOA1A1A1A A1.用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A，得A A1+A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A A1+A2+A3+A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A4y=f(x)baxyOA A1+A2+An将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn分割越细，面积的近似值就越精确.当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面
5、积S.下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程分割 把区间0，1等分成n个小区间：,nn,n1n,ni,n1i,n2,n1,n1,0n1n1inix每个区间的长度为过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21n1)n1i(x)n1i(fS2i 近似代换 求和)211)(11(316)12()1(n1)1n(210n1n1)n1-i(n1)n1-if(SSSSS322223n1i2n1in1iin21nnnnn取极限。面积为，即所求曲边三角形的所以，从而趋向时，亦即当分割无限变细，即3131S31)211)(11(31lim)1(1limlimS
6、)211)(11(31)n(0 xn1nnnnnifnSSnnSninn分割近似代换求和取极限分割，求和，取极限当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi)x来近似表示小曲边梯形的面积x)f(xx)f(xx)x(fn21表示了曲边梯形面积的近似值点击演示通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细，各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大，这就是一个求极限的过程.（1）在分割时一定要等分吗？不等分影响结果吗？（2）在近似代替时用小区间内任一点处的函数值影响结果吗
7、？（3）总结一般曲边梯形面积的表达式？两个结论 1.在分割时，不管采用等分与不等分，结果一样。2.在近似代替时，用小区间内任 一点处的函数值作为近似值，结果也是一样的。一般曲边梯形的面积的表达式 niinfnabS1lim分割 近似代替求和 逼近 以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：OyxOyxOyxOyx2xn 过每个分点作x轴的垂线，解:(1)分割:将区间0,2n等分,则每个区间 212,iinn（）的长度为将原曲边梯形分割为n个小曲边梯形;1.求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积.(2)近似替代 以每个区间的左端点的函数值为高作n个小矩形,当n很大时
8、,用这n个小矩形的面积和近似替代曲边梯形的面积S;(3)求和 22112121212()()221()nnniiniiiSfxfnnnifnn（）（）（）2223284(1)(21)123(1)n3nnnn(4)取极限 24(1)(21)limlim3nnnnnSSn即曲边梯形的面积为 83求一个具体曲边梯形的面积 一个案例两种思想方案一、方案二、方案三 三个方案分割、近似代替、求和、求极限 “以直代曲”和“无限逼近”思想 四个步骤必做题：1.求由抛物线2yx与直线0,(0)xxt t,0y 所围成的曲边梯形的面积时,将区间0,t 等分成 n 个小区间,则第1i 个区间为.2.求由直线0,2,0 xxy及曲线2yx所围成的曲边图形的面积.选做题：求由直线1,2,0 xxy及曲线3yx所围成的曲边图形的面积.(提示:3332112(1)2nn n)有位成功人士曾说过：“做事业的过程就是在求解一条曲线长度的过程。每一件实实在在的小事就是组成事业曲线的直线段。”想想我们的学习过程、追求理想的过程又何尝不是这样？希望大家能用微积分的思想去学习、去做事！