1、吉林省扶余市第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教版选修1-1，选修1-2第三章.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
2、一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：先化简复数z,再看复数z在复平面内对应的点所在的象限.详解：由题得，所以复数z在复平面内对应的点为（2,4），故答案为A.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.2.双曲线的实轴长为（）A. 1B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】由双曲线标准方程可得的值，实轴长即可求出【详解】解：，.
3、故选B【点睛】本题考查双曲线的性质，是基础题3.设命题，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断详解】全称命题的否定是特称命题，p为x0Z，2x0Z故选：A【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础4.函数的图象在处的切线斜率为（ ）A. 3B. C. D. e【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，将代入即可求解切线的斜率【详解】，所以.故选：B【点睛】本题考查函数的导数的应用，意在考查求导运算，是基础题5.设A，B分别是双曲线的左、右顶点，则的面积为（ ）A. 4B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】【分析】求得
4、左、右顶点坐标，再利用面积公式求解即可【详解】易知，则，.故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查面积计算，是基础题6.“”是“直线与圆相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】直接利用圆心到直线的距离等于半径求得充要条件即可判断详解】当直线与圆相切时，则，故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查充分必要条件的判断，属于基础题型7.当复数的实部与虚部的差最小时，（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】实部与虚部的差为。利用二次函数性质
5、求得最值，再利用复数除法运算即可【详解】复数z的实部与虚部的差为，当时，差值最小，此时，.故选：C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，熟练求解二次函数最值是关键，是基础题8.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用yf（x）的正负与单调性的关系判断即可【详解】由导函数图象可知，函数在上单调递减，上单调递减，在上单调递增.故选：D【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了识图能力，属于基础题9.双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过抛物线的顶点，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分
6、析】先依题意设出双曲线的方程，再由该双曲线过抛物线的顶点，即可求出结果.【详解】因为双曲线与双曲线有共同的渐近线，所以设双曲线的方程为：其中，又因的顶点为, 且经过抛物线的顶点,所以有,即，所以，故即为所求；故选B【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，待定系数法是最常用的一种做法，属于基础题型.10.方程表示的曲线为（ ）A. 抛物线B. 圆C. 一条直线D. 两条直线【答案】A【解析】【分析】根据两点间距离公式与点到直线的距离公式，可得动点P到点F（0，-1）的距离等于点P到直线=0的距离，再根据抛物线的定义判定可得答案【详解】方程可化为，它的几何意义为到定点的距离等于P到直线（不经过点F）
7、的距离，则方程表示的曲线为抛物线.故选：A【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查转化与变形能力，特别要注意条件：点不在直线上11.已知，分别为椭圆：的左顶点、下顶点，过点且斜率为1的直线与的另一个公共点为，则（）A. B. C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】通过题意，容易求出直线的方程，将直线和椭圆联立，求出交点，通过向量数量积的坐标运算即可求出【详解】易知，的方程为，联立，得，解得，则的坐标为，则，.故选D【点睛】本题时椭圆和向量结合的问题，根据直线和椭圆的位置关系求出需要的向量的坐标，是基础题12.已知函数，若（），则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】设
8、x2x14，将已知转为f（x2）+2mx2f（x1）+2mx1恒成立，构造函数g（x）f（x）+2mx，由函数单调性定义可知函数g（x）在4，+）上的单调性，由单调性可求得a的取值范围【详解】由已知不妨设x2x14，要恒成立，只需f（x2）+2mx2f（x1）+2mx1，令g（x）f（x）+2mx，即g（x2）g（x1）,由函数单调性的定义可知g（x）在4，+）上单调递增又函数g（x），g（x）2x+2m，即g（x）0在4，+）恒成立，即x+m0在4，+）恒成立，变量分离得-mx+,令h(x)= x+,只需-m，又h(x)在4，+）上单调递增，则=h(4)=4+，所以-m4+，由已知使-m4+
9、成立，即,即，故选D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用构造函数法求参数的取值范围以及数学转化的思想.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数为纯虚数，则_.【答案】5i .【解析】【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算即可得出【详解】为纯虚数，.故答案为：5i【点睛】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算，属于基础题14.抛物线的准线方程为_.【答案】.【解析】【分析】化抛物线方程为标准式，直接求解即可【详解】由得，则准线方程为.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，注意必须化为标准式15.函数的最小值为_【答案】【解析】【分析】（1）
10、 求导数， 确定函数在区间上的单调性， 即可求出函数在区间上的最小值【详解】，当时，当时，所以在上递减，在递增，所以函数在处取得最小值，即【点睛】本题考查导数知识的运用， 考查函数的单调性与最值， 考查学生的计算能力， 属于中档题 16.双曲线：与圆：有四个交点，则的离心率的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】联立，曲线与圆有四个交点，得到，可以求出的范围，进而可以求出离心率的范围【详解】由，得，依题意可知，解得，则.故答案为【点睛】本题考查圆锥曲线与圆锥曲线的交点问题，由于圆锥曲线具有对称性，故其转化的二次方程的有两个不等实根，利用判别式可求范围，是基础题三、解答题：共70分.解答应写出文
11、字说明，证明过程或演算步骤.17.已知复数z满足，z的实部、虚部均为整数，且z在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z；（2）若，求实数m，n的值.【答案】(1) 或. (2) ，.【解析】【分析】（1）利用已知条件，设出复数z，通过及所对点所在位置求出即可复数z；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m，n的值【详解】（1）设，则，因为z在复平面内对应的点位于第四象限，所以，所以或，所以或.（2）由（1）知或，当时，；当时.因为，所以，解得，.【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题18.（1）若方程表示双曲线，求m的取值范围；（2）若双曲线的虚轴长
12、为6，且C经过点，求C的焦距.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）利用双曲线的性质列出不等式组求解即可（2）由题意列方程求解,再利用得【详解】（1）， ，解得 （2）由题意可得，解得， 则，焦距为.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，意在考查学生对基本性质的理解，是基本知识的考查19.设函数.（1）若，求的极值；（2）若，求的单调区间.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）当时，对函数求导，利用导数性质，即可求出极值（2）当时，对函数求导，利用导数性质求出单调区间即可【详解】（1）因为，所以当时，当，.所以在处取得极小值，极小值为，无极大值.（2）因为，所以
13、.令，得，.当时，当时，.故的单调递增区间为.的单调递减区间为，.【点睛】本题考查了利用导数求函数极值与单调区间的问题，属于中档题20.已知点是抛物线上一点，直线与抛物线交于两点（1）求到抛物线焦点的距离；（2）若的坐标为，且，求的值【答案】（1）7；（2）.【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上，求解出，得到抛物线方程，再利用抛物线定义即可求出；（2）利用直线与抛物线的位置关系，联立方程，消去得到的一元二次方程，由韦达定理求出，再结合向量垂直的坐标表示列出方程，即可求解【详解】将的坐标代入，得，则，则抛物线的焦点为，到抛物线焦点的距离设，联立，得则，解得【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与性
14、质，向量垂直的坐标表示以及直线与抛物线的位置关系应用21.已知函数（1）若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值；（2）若，对恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）对求导，解方程组求出，即可（2）将代入，利用参变分离可以将问题转化为在 恒成立，求出的最小值，令即可【详解】（1），由，得，（2）因为，等价于，令，当时，所以在上单调递减，当时，所以在上单调递增，所以，所以.【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题22.已知直线l与椭圆交于A，B两点.（1）若线段AB的中点为，求l的方程；（2）若斜率不为0的直线l经过点，证明：为定值.【答案】(1) .(2)见解析.【解析】【分析】（1）运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，由点斜式方程可得直线AB的方程，（2）直线l的方程为，与椭圆联立，结合两点间距离公式并将韦达定理代入整理化简即可【详解】（1）解：设，则， 两式相减得，整理得 因为线段AB的中点为，所以， 所以直线l的斜率为. 故直线l的方程为，即. （2）证明：设直线l的方程为，由，得， 所以， 因为， 同理， 所以. 因为，所以为定值.【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在直线方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及距离公式的应用，准确化简变形是关键，属于中档题