1、北京市西城区2019 2020学年度第一学期期末试卷 高二数学 2020.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1已知椭圆的一个焦点为,则的值为（ ）A B C D2已知数列满足，则（ ）ABCD3已知命题:,则为（ ）A,B,C,D,4已知,若,则（ ）ABCD 5已知向量,且,那么（ ）ABCD6已知直线,分别在两个不同的平面内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件7. 已知向量，若共面，则等于 （ ）A.
2、 B. C. 或 D. 或 8. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数，其中表示不超过的最大整数，比如. 根据以上定义，当时，数列，（ ）A是等差数列，也是等比数列 B是等差数列，不是等比数列C是等比数列，不是等差数列 D不是等差数列，也不是等比数列9设有四个数的数列，该数列前项成等比数列，其和为m，后项成等差数列，其和为. 则实数m的取值范围为（ ）A. B. C. D. 10. 曲线.给出下列结论：曲线关于原点对称；曲线上任意一点到原点的距离不小于1；曲线只经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.其中，所有正确结论的序号是（ ）A. B. C.
3、 D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为，则到右焦点的距离为_.12. 不等式的解集为_. 13. 能说明“若，则”为假命题的一组、值是 ， . 14若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是_.15某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用万元，从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加万元.若该渔船预计使用年，其总花费（含购买费用）为_ 万元； 当_时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）.16. 若 表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次
4、叫做一次操作； （2）灯在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的，要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作.如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要 次操作；如果除灯外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分13分）已知等比数列的公比为，且，成等差数列.（）求的通项公式；（）设的前项和为，且，求的值.18（本小题满分13分）已知函数，.（）若，求的取值范围；（）若对恒成立，求的取值范围；（）求关于的不等式的解集.19（本小题满分13分）已知椭圆的右焦
5、点为，离心率为.（）求椭圆的方程；（）设点为椭圆的上顶点，点在椭圆上且位于第一象限，且，求的面积.20（本小题满分14分）如图，四棱锥中，平面， .，是的中点.（）证明：平面；（）若二面角的余弦值是，求的值；DABCPE（）若，在线段上是否存在一点，使得. 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.21（本小题满分14分）已知抛物线，抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.（）求抛物线的方程及其准线方程；（）过的直线交抛物线于不同的两点，交直线于点，直线交直线于点. 是否存在这样的直线，使得? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线的方程.22（本小题满分13分）若无穷数列满足：对任意两个正整数，
6、与至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”.（）求证：若数列为等差数列，则为“和谐数列”；（）求证：若数列为“和谐数列”，则数列从第项起为等差数列；（）若是各项均为整数的“和谐数列”，满足，且存在使得，求p的所有可能值. 北京市西城区2019 2020学年度第一学期期末试卷 高二数学参考答案 2020.1一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A 2. B 3.C 4. D 5. A 6. A 7. B 8. D 9. B 10. C 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 12. 13. （答案不唯一） 14. 15.； 16. 3；21注：13、
7、15、16题第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.17（本小题满分13分）解：（）因为为公比为的等比数列，所以， 3分依题意得 ， 5分即， 6分整理得， 解得. 7分所以数列的通项公式为. 8分（）依题意 ， 10分. 11分所以，整理得， 12分解得所以的值是. 13分18（本小题满分13分） 解：（）由得，整理得， 2分解得或. 4分（）对恒成立，则， 6分所以， 7分整理得，解得. 8分（）解，得，当时，即时,或 ； 10分当时，即时,或 ； 12分当时，即时, . 13分综上，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为.19 （本
8、小题满分13分）解：（）依题意 ， 2分解得， 4分所以椭圆的方程为. 5分（）设点，因为点在椭圆上，所以， 7分因为，所以，得， 8分由消去得，解得（舍）， 10分代入方程得，所以， 11分所以，又， 12分所以的面积. 13分20. （本小题满分14分）（）证明：因为 平面，所以 平面. 1分又因为 平面，所以 . 2分在中，是的中点，所以 . 3分又因为 ，所以 平面. 4分DABCPEyzx（）解：因为 平面，所以，. 5分又因为 ，所以 如图建立空间直角坐标系.则，. 6分设平面的法向量为.则 7分 即 令，则，于是. 8分因为平面，所以. 又，所以平面.又因为， 所以 取平面的法向
9、量为. 9分所以 ， 10分即，解得.又因为，所以. 11分（）结论：不存在.理由如下：证明：设.当时，.，. 12分由知，.这与矛盾. 13分所以，在线段上不存在点，使得. 14分21. （本小题满分14分）解：（）因为横坐标为的点到焦点的距离为，所以，解得， 2分所以， 3分所以准线方程为. 4分（）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，.联立得 消去得. 5分由，解得. 所以且.由韦达定理得，. 7分方法一：直线的方程为，又，所以，所以， 8分因为，所以直线与直线的斜率相等. 9分又，所以. 10分整理得，即， 11分化简得，即. 12分所以，整理得， 13分解得. 经检验，符合题意.所以
10、存在这样的直线，直线的方程为或.14分方法二：因为，所以，所以. 10分整理得，即， 12分整理得. 13分解得，经检验，符合题意.所以存在这样的直线，直线的方程为或.14分22.（本小题满分13分）（）证明：因为数列为等差数列，所以 对任意两个正整数，有 ， 2分所以 .所以 数列为“和谐数列”. 4分（）证明：因为数列为“和谐数列”， 所以 当,时，只能成立, 不成立.所以 ，即. 6分 当，时，也只能成立，不成立.所以 ，,即 ， 所以 . 7分令，则数列满足. 所以，数列从第3项起为等差数列. 8分（）解：若，则，与矛盾，不合题意. 若，则，但，不合题意. 9分若，则，由，得， 此时数列为：，符合题意. 10分若，设，则.所以，即 .因为 ，所以. 11分 所以 不合题意.所以 . 12分因为p为整数，所以为整数，所以.综上所述，p的所有可能值为. 13分