1、2015-2016学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共40分，在四个选项中只有一项是正确的1已知集合M=x|0，N=x|x1，则集合x|x2等于（）AMNBMNCR（MN）DR（MN）2从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是（）ABCD3阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A8B32C48D3844设xR，则“1x6”是“2x25x30”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5如图，半径为2的O中，AOB=90，D为OB的中点，AD的延长线交O于点E，则线段DE的
2、长为（）ABCD6若双曲线=1的一个焦点与抛物线y2=2px的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）ABC3D27记实数x1，x2，xn中最小数为minx1，x2，xn，则定义在区间0，+）上的函数f（x）=minx2+1，x+3，13x的最大值为（）A5B6C8D108已知函数f（x）=x|x|mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）AC（，2）D2，+）二、填空题：每小题5分，共30分9i是虚数单位，计算的结果为10一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为cm311（5分）（2011新余二模）在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于0到的概率为12已知x0，y0， +=
3、1，则2x+y的最小值为13已知函数f（x）=3sin（x）+1（0）和g（x）=cos（2x+）2的图象的对称轴完全相同，当x0，时，函数f（x）的值域是14（5分）（2016济宁二模）如图，在ABC中，BAC=60，AB=2，AC=1，D是BC边上的一点（含端点），则的取值范围是三、解答题：共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13分）（2015秋和平区期末）已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinA+csinCasinC=bsinB（）求B；（）若C=，b=2，求a和c16（13分）（2015秋和平区期末）某企业生产A、B两种产品，现有资源如下：煤36
4、0吨，水300吨，电200千瓦每生产1吨A产品需消耗煤9吨，水3吨，电4千瓦，利润7万元；每生产1吨B产品需消耗煤4吨，水10吨，电5千瓦，利润12万元（）根据题目信息填写下表：每吨产品煤（吨）水（吨）电（千瓦）AB（）设分别生产A、B两种产品x吨、y吨，总产值为z万元，请列出x、y满足的不等式组及目标函数（）试问该企业利用现有资源，生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？17（13分）（2015秋和平区期末）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，D为A1C1的中点，B1CA1B（）求证：平面AB1C垂直平面A1BC1；（）求证：A1B平面B1CD；（）若AB=AC
5、=BC=AB1=B1C=2，求三棱柱ABCA1B1C1的表面积18（13分）（2013山东）设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前n项和Tn19（14分）（2015秋和平区期末）已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上（）求椭圆C的方程；（）求F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标20（14分）（2015秋和平区期末）设函数f（x）=x3x2+6x+m（）对于xR，f（x）a恒成立，求a的最大值；（）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求
6、m的取值范围；（）若g（x）=mx6x22f（x）在（1，+）上存在单调递增区间，求m的取值范围2015-2016学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共40分，在四个选项中只有一项是正确的1已知集合M=x|0，N=x|x1，则集合x|x2等于（）AMNBMNCR（MN）DR（MN）【分析】先化简集合M，再根据集合的并集运算求出MN=x|x2，这时发现x|x2x|x2=R，问题得以解决【解答】解：M=x|0=x|1x2，N=x|x1，MN=x|x2，R（MN）=x|x2，故选：D【点评】此题考查的分式不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中
7、的常考内容，要认真掌握，并确保得分2从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是（）ABCD【分析】从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，先求出基本事件总数，再求出其和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出其和为偶数的概率【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，基本事件总数n=21，其和为偶数包含的基本事件个数m=9，其和为偶数的概率p=故选：A【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用3阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A8B32C48D384【分析】
8、由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当满足n8时，用sn的值代替s得到新的s值，进入下一步判断，直到条件不满足时输出最后的S值，由此即可得到本题答案【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=2满足条件n8，S=2，n=4满足条件n8，S=8，n=6满足条件n8，S=48，n=8不满足条件n8，退出循环，输出S的值为48故选：C【点评】本题给出程序框图，求最后输出的结果值，属于基础题解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决4设xR，则“1x6”是“2x25x30”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分
9、也不必要条件【分析】由2x25x30，解得，即可判断出结论【解答】解：由2x25x30，解得，“1x6”是“2x25x30”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5如图，半径为2的O中，AOB=90，D为OB的中点，AD的延长线交O于点E，则线段DE的长为（）ABCD【分析】延长BO交O于点C，我们根据已知中O的半径为2，AOB=90，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长【解答】解：延长BO交O于点C，由题设知：，又由相交弦定理知ADDE=BDDC，得 故选C【点评】本题考查的知识是与圆有关的
10、比例线段，其中延长B0交圆于另一点C，从而构造相交弦的模型是解答本题的关键6若双曲线=1的一个焦点与抛物线y2=2px的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）ABC3D2【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的a，b，c，解方程可得p2=36，即有c=2，运用离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：抛物线y2=2px的焦点为（，0），由双曲线=1的a=，b=|，可得c=，即有=|，解得p2=36，可得c=3，则离心率e=故选：A【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的焦点坐标，以及双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，考查运算能力，属于基础题7记实数x1，x2，xn中最小数为minx1
11、，x2，xn，则定义在区间0，+）上的函数f（x）=minx2+1，x+3，13x的最大值为（）A5B6C8D10【分析】在同一坐标系中作出三个函数y=x+3，y=x2+1与y=x+13的图象，依题意，由图象即可求得maxminx2+1，x+3，13x【解答】解：在同一坐标系中作出三个函数y=x2+1，y=x+3，y=13x的图象如图：由图可知，minx2+1，x+3，13x为y=x+3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y=13x点C下方的部分的组合体，显然，在C点时，y=minx2+1，x+3，13x取得最大值解方程组得，C（5，8），maxminx2+1，x+3，13
12、x=8故选：C【点评】本题考查函数的最值的求法，在同一坐标系中作出三个函数y=x+3，y=x2+1与y=x+13的图象是关键，考查数形结合的思想方法，属于中档题8已知函数f（x）=x|x|mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）AC（，2）D2，+）【分析】f（x）=x|x|mx+1得x|x|+1=mx利用参数分离法得m=|x|+，构造函数g（x）=|x|+，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可【解答】解：由f（x）=x|x|mx+1得x|x|+1=mx，当x=0时，方程不成立，即x0，则方程等价为m=|x|+设g（x）=|x|+，当x0时，g（x）=x+为减函数，当x0时，g（x）=
13、x+，则g（x）在（0，1）上为减函数，则（1，+）上为增函数，即当x=1时，函数取得极小值同时也是最小值g（1）=1+1=2，作出函数g（x）的图象如图：要使f（x）=x|x|mx+1有三个零点，则等价为m=|x|+有三个不同的根，即y=m与g（x）有三个不同的交点，则由图象知m2，故实数m的取值范围是（2，+），故选：B【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法以及数形结合是解决本题的关键二、填空题：每小题5分，共30分9i是虚数单位，计算的结果为2【分析】直接利用复数代数形式乘除运算化简得答案【解答】解： =故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题10一
14、个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为12cm3【分析】由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，根据圆锥和圆柱的体积公式进行求解即可【解答】解：由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，圆锥的高为3cm，底面半径r=2cm，则圆锥的体积为=4（cm3），圆柱的高为2cm，底面半径r=2cm，则圆柱的体积为222=8（cm3），则该几何体的体积为4+8=12（cm3），故答案为：12【点评】本题主要考查三视图的应用以及空间几何体的体积计算，根据三视图判断几何体的结构是解决本题的关键11（5分）（2011新余二模）在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于0到的概率
15、为【分析】解出关于三角函数的不等式，使得cosx的值介于0到之间，在所给的范围中，求出符合条件的角的范围，根据几何概型公式用角度之比求解概率【解答】解：0cosx，x（2k+，2k+）当x，时，x（，）（，）在区间上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率P=，故答案为：【点评】本题是一个几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，在解题过程中不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到12已知x0，y0， +=1，则2x+y的最小值为18【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x0，y0， +=1，则2x+y=（2x+y）=10+10+2=
16、18，当且仅当y=2x=2+8时取等号故答案为：18【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13已知函数f（x）=3sin（x）+1（0）和g（x）=cos（2x+）2的图象的对称轴完全相同，当x0，时，函数f（x）的值域是，4【分析】由条件利用三角函数的周期性求得的值，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域【解答】解：函数f（x）=3sin（x）+1（0）和g（x）=cos（2x+）2的图象的对称轴完全相同，故它们的周期相同，即=，=2，f（x）=3sin（2x）+1当x0，时，2x，函数f（x）的值域为+1，4，即函数
17、f（x）的值域是，4，故答案为：，4【点评】本题主要考查三角函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题14（5分）（2016济宁二模）如图，在ABC中，BAC=60，AB=2，AC=1，D是BC边上的一点（含端点），则的取值范围是3，0【分析】由条件可以求出，而根据B，D，C三点共线，便可得到，从而得到，进行数量积的运算便可得出，【解答】解：根据条件，；B，D，C三点共线，存在实数使，01；=124（1）+=33；01；3330；的取值范围为3，0故答案为：3，0【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，共线向量基本定理，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及不等式的性质三、解答题：共
18、80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13分）（2015秋和平区期末）已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinA+csinCasinC=bsinB（）求B；（）若C=，b=2，求a和c【分析】（I）由asinA+csinCasinC=bsinB，利用正弦定理可得： =b2，再利用余弦定理可得：cosB（II）A=BC=，由正弦定理可得：a=，而sinC=可得c=【解答】解：（I）由asinA+csinCasinC=bsinB，利用正弦定理可得： =b2，由余弦定理可得：cosB=，B（0，），B=（II）A=BC=，由正弦定理可得：a=，而sinC=+=c=1
19、+【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（13分）（2015秋和平区期末）某企业生产A、B两种产品，现有资源如下：煤360吨，水300吨，电200千瓦每生产1吨A产品需消耗煤9吨，水3吨，电4千瓦，利润7万元；每生产1吨B产品需消耗煤4吨，水10吨，电5千瓦，利润12万元（）根据题目信息填写下表：每吨产品煤（吨）水（吨）电（千瓦）AB（）设分别生产A、B两种产品x吨、y吨，总产值为z万元，请列出x、y满足的不等式组及目标函数（）试问该企业利用现有资源，生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？【分析】（）根据题意，即可填写表格；（）由题意可得组，目标
20、函数z=7x+12y；（）作出不等式组表示的可行域，以及直线l0：7x+12y=0，平移直线l0：，由图象观察可得经过直线3x+10y=300和直线4x+5y=200的交点时，取得最大值【解答】解：（） 每吨产品 煤（吨） 水（吨） 电（千瓦） A 9 3 4 B 4 10 5（）x，y满足的不等式组，目标函数z=7x+12y；（）作出不等式组表示的可行域，以及直线l0：7x+12y=0，由，解得M（20，24），平移直线l0，当经过点M（20，24），取得最大值，且为z=720+1224=428则生产A种产品20吨，B种产品24吨，才能获得最大利润428万元【点评】本题考查线性规划的运用，考
21、查数形结合的思想方法，以及平移法，考查运算能力，属于中档题17（13分）（2015秋和平区期末）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，D为A1C1的中点，B1CA1B（）求证：平面AB1C垂直平面A1BC1；（）求证：A1B平面B1CD；（）若AB=AC=BC=AB1=B1C=2，求三棱柱ABCA1B1C1的表面积【分析】（）推导出B1CBC1，B1CA1B，从而B1C平面A1BC1，由此能证明平面AB1C垂直平面A1BC1（）设BC1B1C于点E，连DE，推导出DEA1B，由此能证明A1B平面B1CD（）侧面BAA1B1和侧面BCC1B1是两个全等的菱形，侧面ACC1A
22、1是一个正方形，由此能求出三棱柱ABCA1B1C1的表面积【解答】证明：（）侧面BCC1B1是菱形，B1CBC1，B1CA1B，且A1BBC1=B，B1C平面A1BC1，B1C平面AB1C，平面AB1C垂直平面A1BC1（）设BC1B1C于点E，连DE，在A1BC1中，D为A1C1的中点，E为BC1的中点，DEA1B，DE平面B1CD，A1B平面B1CD，A1B平面B1CD解：（）依题意，在三棱柱ABCA1B1C1中，两底面是边长为2的正三角形，面积均为，侧面BAA1B1和侧面BCC1B1是两个全等的菱形，面积均为2，侧面ACC1A1是一个正方形，面积为4，三棱柱ABCA1B1C1的表面积为【
23、点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查三棱柱的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18（13分）（2013山东）设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前n项和Tn【分析】（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列an的通项公式；（）由（）知，an=2n1，继而可求得bn=，nN*，于是Tn=+，利用错位相减法即可求得Tn【解答】解：（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4
24、S2，a2n=2an+1得：，解得a1=1，d=2an=2n1，nN*（）由已知+=1，nN*，得：当n=1时， =，当n2时， =（1）（1）=，显然，n=1时符合=，nN*由（）知，an=2n1，nN*bn=，nN*又Tn=+，Tn=+，两式相减得： Tn=+（+）=Tn=3【点评】本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题19（14分）（2015秋和平区期末）已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上（）求椭圆C的方程；（）求F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐
25、标【分析】（）设椭圆C的方程为=1，ab0，利用待定系数法能求出椭圆C的方程（）直线AF1的方程为3x4y+6=0，求出直线l的方程为2xyx=0，与椭圆联立，得19x216x44=0，由此利用韦达定理能求出直线l与椭圆C的另一个交点坐标【解答】解：（）椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上，设椭圆C的方程为=1，ab0，则，解得a2=16，b2=12，椭圆C的方程为（）椭圆C的方程为，F1（2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为y=，即3x4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，设P（x，y）为直线l
26、上一点，则=|x2|，解得2xy1=0或x+2y8=0（斜率为负，舍），直线l的方程为2xyx=0，由，整理，得19x216x44=0，设直线l与椭圆C的另一个交点为M（x0，y0），则有，解得，直线l与椭圆C的另一个交点坐标为（，）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的另一个交点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理的合理运用20（14分）（2015秋和平区期末）设函数f（x）=x3x2+6x+m（）对于xR，f（x）a恒成立，求a的最大值；（）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求m的取值范围；（）若g（x）=mx6x22f（x）在（1，+）上存在单调递增
27、区间，求m的取值范围【分析】（1）求出f（x）的导数，得到3x29x+（6a）0恒成立，根据判别式0，求出a的范围即可；（2）求出f（x）的极大值和极小值，从而求出m的范围即可；（3）求出g（x）的导数，得到函数的单调性，求出函数的g（x）的最大值，从而求出m的范围即可【解答】解：（1）f（x）=3x29x+6，xR，f（x）a恒成立，即3x29x+（6a）0恒成立，=8112（6a）0，解得：a，a的最大值是；（2）由f（x）=3（x1）（x2），令f（x）0，解得：x2或x1，令f（x）0，解得：1x2，f（x）极大值=f（1）=+m，f（x）极小值=f（2）=2+m，故f（2）0或f（1）0时，方程f（x）=0仅有1个实数根，m的范围是（，）（2，+）；（3）g（x）=2x3+3x2+（m12）x2m，g（x）=6+（m），当x1，+）时，g（x）的最大值是g（1）=m12，令g（1）0，解得：m12，m的范围是（12，+）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题